Muitas funções de janelas são listadas aqui na documentação do Mathematica. Tentei usar alguns para reduzir o vazamento ao calcular uma transformação discreta de Fourier. Pelo que pude dizer, fez pouca diferença qual função de janelas é usada. Dois deles muito diferentes são o BartlettHannWindow e o BlackmanHarrisWindow. Alguém poderia fornecer um exemplo em que o BarttletHannWindow é uma escolha muito boa e outro em que o BlackmanHarrisWindow é uma escolha muito boa. Isso pode me ajudar a entender por que há tantos por onde escolher.
Por que existem tantas funções de janelas?
Respostas:
Além da redução do vazamento espectral, existe uma grande troca a ser feita ao escolher uma função de janela. Abaixo você pode ver uma figura com vários parâmetros. Dois deles são os mais importantes:
- Largura do lóbulo principal
- Nível do lóbulo lateral de pico
A largura do lóbulo principal afeta a resolução da sua análise. Tenho certeza que você sabe que a multiplicação no domínio do tempo é convolução no domínio da frequência. Por padrão, você sempre usa a janela retangular, que possui resposta de frequência na forma de função.
Por exemplo, pode ser o caso de dois sinusóides puros (transformada de Fourier sendo deltas de Dirac) com frequências muito próximas umas das outras, é muito difícil distinguir picos e tornar-se um deles. Na figura abaixo, comparei 4 funções de janela para dois sinusóides separados exatamente por três compartimentos de frequência. Você pode ver a largura do lóbulo principal da janela de Nuttall e como ela afeta a separação, enquanto a janela retangular é a janela com a menor largura possível do lóbulo principal (ou seja, menor largura de banda de ruído equivalente normalizada - NENBW)
Por outro lado, o nível do primeiro lóbulo lateral afeta a capacidade de reconhecer frequências adjacentes quando há vazamento espectral e os lóbulos laterais de frequência com alta amplitude estão quase "cobrindo" outra frequência próxima a ele com amplitude muito menor:
E aqui está o trade-off ... Você não pode obter um nível muito baixo de lobos laterais e lóbulo principal muito estreito, ou seja, não é possível ter a função de janela com pico principal como na janela retangular e um nível muito baixo de lobos laterais como na janela Nuttal. Aqui está a comparação de algumas janelas:
Além dos parâmetros mencionados acima, há mais recursos, como:
- Taxa de rolagem do lóbulo lateral (com que rapidez os lobos laterais diminuem - por exemplo, veja Bartlett e Nuttal acima)
- Existência de equação de resposta de frequência analítica (útil ao realizar cálculos teóricos)
- Soma das amostras da janela com valor constante no domínio do tempo ao fazer sobreposição (por exemplo, janela Hann com sobreposição)
Isso é extremamente útil quando você deseja executar STFT e reconstruir o sinal no domínio do tempo.
Então agora responda sua pergunta. Por que temos tantas funções de janela?
Dependendo da tarefa, seja uma análise FFT simples de: sinusóides espaçados, ruído branco, sons impulsivos ou mesmo design de filtro FIR, é recomendado um tipo diferente de janela. Obviamente, em 90% dos casos, as pessoas estão usando a janela Hamming / Hanning ou nenhuma janela. No entanto, para alguns sinais específicos, você pode achar que os recursos extraídos, dependendo da escolha da janela, tendem a ser mais discriminatórios.
Para mais informações sobre as Funções da Janela, consulte:
FJ Harris - Sobre o uso de janelas para análise harmônica com a transformada discreta de Fourier
M. Cerna, AF Harvey - Os fundamentos da análise e medição de sinais com base na FFT
As principais diferenças estão entre resolução de frequência e amplitude e complexidade computacional. A Wiki possui uma cobertura bastante completa http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function