Qual é a diferença entre atraso de fase e atraso de grupo?

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Estou estudando algum DSP e estou tendo problemas para entender a diferença entre atraso de fase e atraso de grupo .

Parece-me que ambos medem o tempo de atraso dos sinusóides passados através de um filtro.

Estou correto em pensar isso?
Se sim, como as duas medidas diferem?
Alguém poderia dar um exemplo de uma situação em que uma medida seria mais útil que a outra?

ATUALIZAR

Lendo adiante na Introdução aos Filtros Digitais de Julius Smith , eu encontrei uma situação em que as duas medidas pelo menos dão resultados diferentes: filtros de fase afim . Essa é uma resposta parcial à minha pergunta, eu acho.

— dB '
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Você pode achar esta página útil. Explica o atraso do grupo e seus efeitos, sem nenhuma matemática.

— user5108_Dan

a página da Wikipedia detalha as definições e diferenças matematicamente. se você possui um filtro de fase linear, o atraso do grupo e o atraso da fase têm o mesmo valor e são simplesmente o atraso da taxa de transferência do filtro. para qualquer filtro geral que tenha algum ganho em DC (ou seja, não um HPF nem BPF com

dB em DC) e não tenha uma inversão de polaridade em DC, o atraso do grupo e o atraso de fase têm o mesmo valor em e próximo a DC.

- \infty

$-\infty$

— precisa saber é o seguinte

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Primeiro de todas as definições são diferentes:

Atraso de fase: (o negativo de) Fase dividida pela frequência
Atraso do grupo: (o negativo de) Primeira derivada da fase versus frequência

Em palavras que significa:

Atraso de fase: ângulo de fase neste ponto na frequência
Atraso do grupo: Taxa de mudança da fase em torno deste ponto na frequência.

Quando usar um ou outro realmente depende da sua aplicação. A aplicação clássica para atraso de grupo são ondas senoidais moduladas, por exemplo, rádio AM. O tempo que leva para o sinal de modulação passar pelo sistema é dado pelo atraso do grupo e não pelo atraso da fase. Outro exemplo de áudio pode ser um bumbo: Esta é principalmente uma onda senoidal modulada; portanto, se você deseja determinar quanto tempo o bumbo será atrasado (e potencialmente manchado a tempo), o atraso do grupo é a maneira de olhar para ele.

— Hilmar
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"Fase absoluta neste ponto da frequência" Isso não seria apenas chamado de "fase"?

— endolith 23/02

Eu quis dizer "absoluto" em comparação com "relativo", mas vejo que isso pode ser confundido com "valor absoluto". Vou editá-lo #

— Hilmar

uma última diferença importante: o atraso de fase em alguma frequência

é o atraso de tempo da fase do sinal quase-sinusoidal de frequência

passado através do filtro. o atraso do grupo é o atraso do envelope ou " grupo " do quase-sinusóide.

f

$f$

f

$f$

— precisa saber é o seguinte

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Ambos não medem o quanto um sinusóide está atrasado. O atraso de fase mede exatamente isso. O atraso do grupo é um pouco mais complicado. Imagine uma onda senoidal curta com um envelope de amplitude aplicado a ela para que ela desapareça e desapareça, digamos, um gaussiano multiplicado por um sinusóide. Esse envelope tem uma forma e, em particular, um pico que representa o centro desse "pacote". O atraso do grupo indica quanto esse envelope de amplitude será atrasado, em particular, quanto o pico desse pacote se moverá.

Eu gosto de pensar sobre isso, voltando à definição de atraso de grupo: é a derivada da fase. A derivada fornece uma linearização da resposta de fase nesse ponto. Em outras palavras, em alguma frequência, o atraso do grupo está informando aproximadamente como a resposta de fase das frequências vizinhas se relaciona com a resposta de fase naquele momento. Agora, lembre-se de como estamos usando um senoide modulado em amplitude. A modulação de amplitude pegará o pico do senoide e introduzirá bandas laterais nas frequências vizinhas. Então, de certa forma, o atraso do grupo está fornecendo informações sobre como as bandas laterais serão atrasadas em relação à frequência da portadora, e a aplicação desse atraso mudará a forma do envelope de amplitude de alguma maneira.

A coisa louca? Filtros causais podem ter atraso de grupo negativo! Pegue seu gaussiano multiplicado por um sinusóide: você pode construir um circuito analógico de modo que, quando enviar esse sinal, o pico do envelope apareça na saída antes da entrada. Parece um paradoxo, pois parece que o filtro precisa "ver" o futuro. É definitivamente estranho, mas uma maneira de pensar sobre isso é que, como o envelope tem uma forma muito previsível, o filtro já possui informações suficientes para antecipar o que vai acontecer. Se um pico fosse inserido no meio do sinal, o filtro não anteciparia isso. Aqui está um artigo realmente interessante sobre isso: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— schnarf
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Quando você diz "figura a ...", uma imagem real seria realmente útil aqui.

— Gabriel Staples

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Para aqueles que ainda não conseguem calcular a diferença, aqui está um exemplo simples

Pegue uma linha de transmissão longa com sinal senoidal simples com um envelope de amplitude, , na entrada $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Se você medir esse sinal no final da linha de transmissão, ele poderá chegar a um lugar como este:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

onde é a diferença de fase da entrada para a saída. $\phi$

Se você quer quanto tempo leva a fase do sinusóide, a transmissão do da entrada até o final então $\sin(\omega t)$ é sua resposta em segundos. $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

Se você quer quanto tempo leva o envelope , , da transmissão senoidal da entrada até o final, então $v(t)$ é sua resposta em segundos. $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

O atraso de fase é apenas o tempo de viagem para uma única frequência, enquanto o atraso do grupo é a medida da distorção da amplitude se um conjunto de múltiplas frequências for aplicado.

— Swapnil Parihar
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O atraso de fase de qualquer filtro é a quantidade de tempo que cada componente de frequência sofre ao passar pelos filtros (se um sinal consistir em várias frequências).

O atraso do grupo é o atraso médio do sinal composto sofrido em cada componente da frequência.

— Saeed
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Sei que essa é uma pergunta bastante antiga, mas estou procurando uma derivação das expressões para atraso de grupo e atraso de fase na internet. Não existem muitas derivações na rede, então pensei em compartilhar o que encontrei. Observe também que essa resposta é mais uma descrição matemática do que intuitiva. Para descrições intuitivas, consulte as respostas acima. Então, aqui vai:

uma (t) = x (t) c o s (ω_{0 0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$ Consideramos o ganho do sistema como unidade, porque estamos interessados em analisar como o sistema altera a fase do sinal de entrada, e não o ganho. Agora, dado que a multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da frequência, a Transformada de Fourier do sinal de entrada é dada por

UMA (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0 0}) + π δ (ω + ω_{0 0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

UMA (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0 0})) + X (j (ω + ω_{0 0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0 0})) + X (j (ω + ω_{0 0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0 0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0 0}) (ω - ω_{0 0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0 0}) - ω_{0 0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0 0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0 0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0 0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0 0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0 0} t + ω_{0 0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0 0} t + ϕ (ω_{0 0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0 0} t + ϕ (ω_{0 0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0 0})) c o s (ω_{0 0} (t + \frac{ϕ (ω_{0 0})}{ω_{0 0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0 0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0 0})}{ω_{0 0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
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