Por que vejo o toque na saída de um filtro digital com uma banda de transição estreita?

Estou fazendo um eq 'extremo' para efeitos espectrais de distorção com áudio. Estou usando filtros de parede de tijolos e filtros de passagem e rejeição de banda muito estreita (plugins vst), e gostaria de saber se há algo que eu possa fazer sobre o 'anel' anterior / posterior com os filtros de fase linear / fase mínima que estou usando . Infelizmente, devo usar declives íngremes eq. Estou preparado para usar a fase mínima, pois evita o pré-toque.

Especificamente, estou me perguntando:

1. O que exatamente causa as oscilações na resposta ao impulso logo após a entrada, em um filtro de fase mínimo?

2. São essas oscilações o que causa o som audível pré e pós 'toque' que é adicionado à banda passante com filtro de inclinação acentuada?

3. As oscilações e, portanto, a frequência de toque sempre são a mesma frequência ou a frequência de toque depende de alguma forma do sinal de entrada?

Muito obrigado pela sua experiência. Aguardo qualquer resposta. Dale.

Editado em resposta à pergunta revisada e a comentários adicionais do OP.

Discordo da afirmação de @ JasonR de que o toque do filtro é devido ao fenômeno de Gibbs .

Conforme descrito no artigo da Wikipedia vinculado à resposta de Jason, o fenômeno Gibbs é uma observação sobre o comportamento assintótico da soma truncada (primeiros termos) da série Fourier de um sinal periódico mas descontínuo, como uma onda quadrada ou onda dente de serra. O artigo da Wikipedia ilustra um exemplo da onda quadrada, mostrando que à medida que mais e mais termos são tomados ( aumenta), a soma de Fourier truncada se torna cada vez mais próxima da onda quadrada. Existem oscilações que ocorrem em torno dos instantes de comutação em que a onda quadrada transita de alta para baixa ou vice-versa, mas estas se tornam cada vez menores conforme$n$$n$$n$fica grande. Como Jason aponta corretamente, a amplitude das oscilações fica menor, a frequência aumenta e a duração (observada) também fica menor. No geral, parece que a soma de Fourier truncada está convergindo para a onda quadrada no limite como .$n \to \infty$

O fenômeno de Gibbs é a observação de que, mesmo no limite em que vai para ,$n$$\infty$ a soma da série de Fourier não converge para o valor alto ou o valor baixo nos instantes de comutação em que a onda quadrada muda de valor abruptamente. (Convergência não ocorrer em todos os outros instantes de tempo). Isso não tem nada a ver com a filtragem propriamente dita, exceto no sentido de que a soma truncada de Fourier pode ser considerada a saída de um filtro passa-baixa ideal para paredes de tijolos com entrada de onda quadrada. Se o corte do filtro for tal que o primeiro$n$harmônicas são passadas inalteradas e harmônicas mais altas são bloqueadas, a saída é a soma de Fourier truncada dos primeiros termos. Mas no limite, quando o fenômeno de Gibbs ocorre, não há filtro: todos os harmônicos são transmitidos para a saída sem nenhuma alteração. Por esse motivo, não concordo que o toque do filtro seja devido ao fenômeno de Gibbs.$n$

Então, por que o toque ocorre? Todosos filtros (não triviais) tocam, independentemente de serem ou não de parede de tijolos, independentemente da forma do sinal de entrada e independentemente de a entrada ser contínua ou ter transições nítidas. O motivo é que, se a entrada possui energia nas faixas de frequência que são paradas (total ou parcialmente), essa energia é efetivamente armazenada internamente no filtro e liberada lentamente como energia dentro da banda à medida que o tempo avança. Na maioria das vezes, esse lançamento não é percebido muito porque é abafado pela resposta ao sinal em banda que está presente. No entanto, se o sinal em banda mudar (ou parar) de forma relativamente repentina, a energia armazenada em épocas anteriores ainda precisará ser liberada, e esse é o toque observado após o desaparecimento do sinal em banda. Em termos de DSP, o buffer do filtro FIR continua a esvaziar mesmo após o término do sinal e, portanto, a saída continua mesmo após o término do sinal. Como os filtros de corte nítido têm buffers longos (muitas seções de biquad, se você preferir), esse esvaziamento leva muito tempo e é muito mais perceptível do que com um filtro mais fácil que esvazia rapidamente.

Suas observações são um exemplo do fenômeno de Gibbs . Ao aplicar um filtro com uma banda de transição muito nítida, você observará oscilações na saída do filtro (ou "toque") perto de quaisquer transições nítidas no sinal de entrada (por exemplo, limites de formas de onda pulsadas). A aparente "frequência" das oscilações depende da largura de banda do filtro; À medida que você aumenta a frequência de corte do filtro, as oscilações se tornam mais localizadas no tempo (ou seja, "maior frequência"), mas o pico de superação não muda. O artigo da Wikipedia vinculado acima tem uma boa explicação na metade do caminho .

1. Como Jason apontou, existe um "princípio da incerteza" básico: tudo que é muito estreito em frequência é amplo no tempo e vice-versa.
2. Se você usar filtros mínimos, não haverá pré-toque, apenas pós-toque. O pré-toque ocorre apenas para filtros de fase lineares. O pré-toque é muito mais audível do que o pós-toque, portanto, os filtros mínimos tendem a ser a melhor escolha aqui. Pode parecer ruim em uma medição, mas, a menos que seja extremo, o pós-toque não é muito audível devido a algumas propriedades de mascaramento do sistema auditivo humano
3. Normalmente, eles tocam exatamente nas frequências de canto do seu filtro. Ou seja, um filtro passa-baixa de 2 kHz produzirá um toque de 2 kHz, portanto a frequência é uma função do filtro, não do conteúdo. O conteúdo o excitará de maneira diferente. Se o conteúdo for pequeno ou não 2 kHz, não excitará muito o toque.

Um filtro passa-banda com transições íngremes e uma banda passante plana se aproxima de uma forma retangular.

Um retângulo em um domínio FT é uma função Sinc no outro domínio. Isso é verdade para uma janela retangular no domínio do tempo criando "vazamento" espectral no domínio da frequência. Ou para uma janela retangular no domínio da frequência, criando um pacote espiral no domínio do tempo. Quanto mais estreito o retângulo (largura de banda), maior o Sinc. (E uma função Sinc "toca" nos dois lados). Para uma determinada largura em um domínio, a única maneira de obter algo mais estreito em extensão energética do que um Sinc no outro domínio é usar algo que pareça mais um gaussiano do que um retângulo, por exemplo, sem arestas íngremes.

Agora considere mudar esse retângulo em um domínio (por exemplo, alterar a frequência da banda passante do filtro de faixa). Um deslocamento circular em um domínio DFT é uma rotação de fase linear no outro domínio. Faça a soma com um conjugado complexo para obter uma resposta real e dois pacotes espirais exponenciais complexos de rotação oposta e rápida se tornam uma resposta no domínio do tempo de toque. A rapidez do toque estará relacionada à frequência central do passe de banda e o comprimento do toque estará relacionado à estreiteza da largura de banda e à inclinação da transição. Se a espiral girar mais de meia volta antes que o envelope acabe, haverá um toque. A maneira de fazer com que esse envelope se esgote mais rapidamente em um domínio é usar uma função mais ampla e arredondada no outro domínio.

Parte 2:

Se você estiver usando a ferramenta Remez ou Parks-McClellen para projetar seus filtros, terá uma resposta equitativa. Um sinusóide em um domínio da TF é um impulso no outro. Portanto, a equitação no domínio da frequência será um impulso ou "tick" no domínio do tempo. Esse "tick" será deslocado do centro da resposta ao impulso pela "frequência" da ondulação no domínio da frequência. Quanto mais plano o filtro projetado por Remez, mais rápida a ondulação, mais o "tiquetaque" é deslocado da resposta ao impulso. Isso faz parte do pré-ring. Use uma metodologia de design de filtro menos agressiva para evitá-la.