Um sinal passa-alto é o mesmo que um sinal menos um sinal passa-baixo?

Minha pergunta é: se eu quero passar um sinal alto, é o mesmo que passar um sinal baixo e subtraí-lo do sinal? Teoricamente é o mesmo? É praticamente o mesmo?

Eu pesquisei (no google e no dsp.stackexchange) e encontro respostas conflitantes. Eu tenho jogado com um sinal e aqui estão os resultados. Eu não consigo entender muito. Aqui está o sinal com a frequência de amostragem uma vez a cada quatro segundos. Projetei um filtro passa-baixa digital com a banda de transição de 0,8 mHz a 1 mHz e filtrou o sinal. Também projetei um filtro passa-alto com a mesma banda de transição e filtrou o sinal. Aqui estão os resultados.

Esta primeira imagem mostra o sinal original em preto e o sinal passa-baixo em azul. Eles estão quase um em cima do outro, mas não completamente. A curva vermelha é o sinal menos o sinal passa-alto que fica logo acima do sinal.

Esta segunda imagem é apenas a primeira ampliada para mostrar o que está acontecendo. Aqui vemos que claramente os dois não são os mesmos. Minha pergunta é por que? É algo sobre como eu implementei os dois filtros ou é algo teórico independente da minha implementação? Não sei muito sobre o design de filtros, mas sei que é notoriamente contra-intuitivo. Aqui está o código completo do MATLAB para reproduzir tudo isso. Estou usando o comando filtfilt para eliminar atrasos de fase. Mas outra coisa a destacar aqui é que os filtros não são normalizados. Quando somar (Hd.Numerator), recebo 0,9930 para o passa-baixo e 0,007 para o passa-alto. Não vejo como explicar isso. A saída deve ser dimensionada de alguma forma, porque os coeficientes não somam um? Esse dimensionamento poderia ter algo a ver com isso?

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clc

data = dlmread('data.txt');

Fs    = 0.25;    % Sampling Frequency
N     = 2674;    % Order
Fpass = 0.8/1000;  % Passband Frequency
Fstop = 1/1000;   % Stopband Frequency
Wpass = 1;       % Passband Weight
Wstop = 1;       % Stopband Weight
dens  = 20;      % Density Factor

% Calculate the coefficients using the FIRPM function.
b  = firpm(N, [0 Fpass Fstop Fs/2]/(Fs/2), [1 1 0 0], [Wpass Wstop], {dens});
Hd = dsp.FIRFilter('Numerator', b);
sum(Hd.Numerator)
datalowpassed = filtfilt(Hd.Numerator,1,data);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Fs    = 0.25;    % Sampling Frequency
N     = 2674;    % Order
Fstop = 0.8/1000;  % Stopband Frequency
Fpass = 1/1000;   % Passband Frequency
Wstop = 1;       % Stopband Weight
Wpass = 1;       % Passband Weight
dens  = 20;      % Density Factor

% Calculate the coefficients using the FIRPM function.
b  = firpm(N, [0 Fstop Fpass Fs/2]/(Fs/2), [0 0 1 1], [Wstop Wpass], {dens});
Hd = dsp.FIRFilter('Numerator', b);
sum(Hd.Numerator)
datahighpassed = filtfilt(Hd.Numerator,1,data);

figure
subplot(2,1,1)
plot(data,'-ko')
hold on
plot(datalowpassed,'-bo')
plot(data-datahighpassed,'-ro')
legend('Original Signal','Low-Passed','Signal - High-Passed')
subplot(2,1,2)
plot(data-datalowpassed,'-bo')
hold on
plot(datahighpassed,'-ro')
legend('Signal - Low-Passed','High-Passed')

Em geral, você não pode simplesmente subtrair uma versão filtrada passa-baixa de um sinal do sinal original para obter um sinal filtrado passa-alta. O motivo é o seguinte. O que você está realmente fazendo é implementar um sistema com resposta em frequência

$H_{LP}(\omega)$$H_{LP}(\omega)$

mas esse geralmente não é o caso quando (1) é satisfeito.

$H_{LP}(\omega)$

$\phi(\omega)$

$e^{j\phi(\omega)}$

Na prática, isso é muito simples se o filtro passa-baixo tiver uma resposta de fase linear , porque o termo da fase é dado por

$\tau$$n$$\tau=n/2$

Então, o que você precisa fazer é o seguinte:

• projetar um filtro passa-baixa FIR de fase linear com uma ordem uniforme
• filter()$x_{LP}[n]$
• $\tau=n/2$$x_d[n]$
• $x_{HP}[n]=x_d[n]-x_{LP}[n]$

Aqui está uma ilustração muito simples em Matlab / Octave

h_lp = fir1 (100, 0,3); % design passa-baixo
h_hp = [zeros (50,1); 1; zeros (50,1)] - h_lp; % design passa-alto por subtração
[H_lp, w] = frequência (h_lp, 1024);
[H_hp, w] = frequência (h_hp, 1.1024);
plot (w / 2 / pi, 20 * log10 (abs (H_lp)), w / 2 / pi, 20 * log10 (abs (H_hp)))
grade, eixo ([0, 0,5, -100,5])

EDITAR:

filtfiltfiltfilt$n=100$), você obtém o que esperaria. Na figura abaixo, você vê uma seção dos dados em azul, a saída do filtro passa-baixo em verde e o resultado da subtração da saída do filtro passa-alto dos dados originais em vermelho. As curvas verde e vermelha são praticamente idênticas.

x = load ('data.txt'); % de dados a serem filtrados
h_lp = fir1 (100, 0,3); % De resposta ao impulso LP
h_hp = fir1 (100, .3, 'alto'); % De resposta ao impulso HP
y = filtfilt (h_lp, 1, x); % aplica filtro passa-baixo
yh = filtfilt (h_hp, 1, x); % aplica filtro passa-alto
yd = x - yh; % de baixa passagem por diferença com filtro de alta passagem
n = 1: comprimento (x);
plot (n, x, n, y, 'g.', n, yd, 'r')
eixo ([3500,4000,140,150])

Em relação à escala:

$\approx 1$$\approx 0$

Além da excelente resposta de Matt L., pode-se apenas salientar que o que ele está usando é chamado de filtros complementares de magnitude , que é o caso comum dos filtros FIR de fase linear, ou seja,

$|H_{LP}|+|H_{HP}| = 1$

Ao criar filtros a partir de duas seções paralelas allpass e adicionar / subtrair as saídas, os filtros lowpass / highpass serão complementares em termos de energia , ou seja,

$|H_{LP}|^2+|H_{HP}|^2 = 1$