Como generalizar a transformação de Fourier?

A transformação de Fourier pega um sinal e o divide em uma série de ondas seno e cosseno.

Disseram- me que deveria ser possível dividir um sinal em algum outro conjunto de funções. Minha pergunta é: como você faz isso?

Estou presumindo que o conjunto de funções que você usa precisaria ter certas propriedades para que isso funcionasse. (Por exemplo, você precisa ter funções "suficientes" para capturar todas as informações do sinal original.) Como você descobre se o seu conjunto de funções é adequado? E então, como você faz a divisão real?

A Transformada de Fourier é apenas uma das tantas transformações diferentes que alteram a representação (geralmente) de uma série temporal do domínio do tempo para outro domínio (geralmente um domínio da frequência, mas existem outras representações para outras transformações, como tempo / frequência, tempo). / escala e outros).

Você pode encontrar muito mais informações sobre transformações em geral nesta lista de artigos da Wikipedia que lista algumas transformações populares e frequentemente usadas. (Você pode focar nas transformações discretas e integrais primeiro)

Como alternativa, você pode conferir esta discussão recente sobre como a transformada Wavelet atinge uma decomposição semelhante à da transformada de Fourier.

Finalmente, quando você tem o luxo de adquirir simultaneamente muitas séries temporais diferentes do mesmo fenômeno, pode até empregar técnicas como a Análise de Componentes Principais (PCA) e Análise de Componentes Independentes (ICA), que chegam ao ponto de transformar um sinal em um soma de formas de onda elementares que são realmente extraídas do próprio sinal (em vez de serem predefinidas, como é feito no Fourier (e transformações relacionadas) ou Wavelets).

Além das respostas dadas aqui, devo acrescentar que há situações em que a exclusividade da decomposição ou até a perfeição não são as propriedades mais procuradas. Em vez disso, busca-se uma descrição "compacta" com o mínimo de coeficientes possível e, para esse efeito, é útil ter uma base de decomposição não vinculada a uma única "família" de elementos (por exemplo, ondas senoidais). Nessas situações, você pode realmente colocar o que quiser na base que usará para sua decomposição, e a decomposição em si é realizada usando o algoritmo Matching Pursuit. Isso prova ser bem adequado para sinais de áudio, que podem exibir segmentos muito estáveis ​​e sustentados (o som longo, decadente e quase puro de uma nota de vibrafone), mas também a parte transitória (a explosão de energia de banda muito larga no início da nota).

A transformação de Fourier é uma das muitas maneiras de expressar uma função como uma soma ponderada de algumas outras funções, geralmente chamadas de funções básicas. Isso pode ser feito por duas razões

1. A função base pode ter significado físico e / ou fornecer algumas dicas sobre a natureza da função original. A função base pode ser vista como os "componentes constituintes" da função.
2. Isso pode facilitar a matemática. Em vez de executar alguma operação na função, você pode dividi-la em funções básicas, operar nas funções básicas e, em seguida, reuni-las novamente.

A Transformada de Fourier é popular, pois faz as duas coisas: as funções básicas são onda senoidal com o parâmetro "frequência" com significado físico bem definido e também são invariantes a sistemas invariantes no tempo linear. Ou seja, onda senoidal emite onda senoidal para fora. Ambas as propriedades são bastante úteis. A Transformada de Fourier é a minha única maneira de fazer isso. Qualquer conjunto de funções independentes lineares pode ser usado. Populares são bases ortonormais, pois facilitam as transformações reais.