Como calcular respostas complexas médias (e justificativas)?

Estou desenvolvendo um software que calcula a resposta de um sistema comparando a FFT dos sinais de entrada e saída. Os sinais de entrada e saída são divididos em janelas e, para cada janela, os sinais são subtraídos à mediana e multiplicados por uma função Hann. A resposta do instrumento para essa janela é então a proporção das FFTs dos dados processados.

Eu acredito que o procedimento acima é padrão, embora eu possa estar descrevendo mal. Meu problema vem em como combinar as respostas das várias janelas.

Tanto quanto posso ver, a abordagem correta é calcular a média dos valores complexos em todas as janelas. A amplitude e a resposta de fase são, então, a amplitude e a fase do valor médio complexo em cada frequência:

av_response = sum_windows(response) / n
av_amplitude = sqrt(real(av_response)**2 + imag(av_response)**2)
av_phase = atan2(imag(av_response), real(av_response))

com loops implícitos nos compartimentos de frequência.

Mas me pediram para alterar isso para calcular a amplitude e a fase em cada janela primeiro e depois calcular a média das amplitudes e fases em todas as janelas:

amplitude = sqrt(real(response)**2 + imag(response)**2)
av_amplitude = sum_windows(amplitude) / n
phase = atan2(imag(response), real(response))
av_phase = sum_windows(phase) / n

Argumentei que isso está incorreto porque os ângulos médios estão "simplesmente errados" - a média de 0 e 360 graus é 180, por exemplo, mas as pessoas com quem estou trabalhando responderam dizendo "OK, apenas exibiremos amplitude".

Então, minhas perguntas são:

Estou correto ao pensar que a segunda abordagem também é geralmente incorreta para amplitudes?
Em caso afirmativo, existem exceções que possam ser relevantes e que possam explicar por que as pessoas com quem estou trabalhando preferem o segundo método? Por exemplo, parece que as duas abordagens concordam quando o ruído se torna pequeno; talvez essa seja uma aproximação aceita para o baixo ruído?
Se a segunda abordagem estiver incorreta, existem referências autorizadas e convincentes que eu possa usar para mostrar isso?
Se a segunda abordagem estiver incorreta, existem exemplos bons e fáceis de entender que mostrem isso para amplitude (como a média de 0 e 360 graus faz para a fase)?
Alternativamente, se eu estou errada, o que seria um bom livro para me educar-me melhor?

Tentei argumentar que a média de -1 1 1 -1 1 -1 -1 deve ser zero em vez de 1, mas isso não convence. E embora eu ache que poderia, com o tempo, construir um argumento baseado na estimativa da máxima probabilidade, dado um modelo de ruído específico, não é o tipo de raciocínio que as pessoas com quem estou trabalhando ouçam. Portanto, se não estou errado, preciso de um argumento poderoso da autoridade ou de uma demonstração "óbvia".

[Tentei adicionar mais tags, mas não consigo encontrar as relevantes e não consigo definir novas como um novo usuário - desculpe]

fft statistics frequency-response

— andrew cooke
fonte

Que motivo eles dão para desfavorecer seu método?

— Nibot

a resposta parece mais suave quando plotada com o segundo método. Eu acho que isso ocorre porque, para os casos analisados, não há sinal significativo (em f mais alto), enquanto a segunda abordagem força um sinal "a aparecer" do ruído. Além disso, várias questões políticas / de comunicação, como você pode imaginar.

— andrew cooke

Você já tentou fornecer alguns casos de teste? Pegue dados aleatórios e filtre-os através de alguns filtros com resposta de frequência conhecida. Verifique se a estimativa da função de transferência converge para a função de transferência conhecida.

— Nibot

não. eu não tenho. essa é uma boa sugestão. obrigado. se apresentado bem, eu poderia ver isso sendo convincente.

— andrew cooke

Respostas:

A estimativa da função de transferência geralmente é implementada de maneira ligeiramente diferente do método que você descreve.

Seu método calcula

⟨ \frac{F [y]}{F [x]} ⟩

$\left\langle \frac{\mathcal{F}[y]}{\mathcal{F}[x]} \right\rangle$

$\langle$ $\rangle$ $\mathcal{F}$

Uma implementação mais típica calculará a densidade espectral cruzada de x e y dividida pela densidade espectral de potência de x:

\frac{⟨ F [y] \cdot F [x]^{*} ⟩}{⟨ | F [x] |^{2} ⟩} = \frac{⟨ F [y] \cdot F [x]^{*} ⟩}{⟨ F [x] \cdot F [x]^{*} ⟩}

$\frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle|\mathcal{F}[x]|^2\rangle} = \frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle\mathcal{F}[x]\cdot\mathcal{F}[x]^*\rangle}$

$\cdot$ $*$

$\mathcal{F}[x]$

Estimação incoerente

Seu empregador sugeriu que você estimasse a função de transferência usando

\frac{| ⟨ F [y] | ⟩}{⟨ | F [x] | ⟩}

$\frac{|\langle \mathcal{F}[y]|\rangle}{\langle |\mathcal{F}[x]|\rangle}$

Isso funcionará , mas tem duas grandes desvantagens:

Você não recebe nenhuma informação de fase.
$x$ $y$

Seu método e o método que descrevi contornam esses problemas usando uma média coerente .

Referências

A idéia geral de usar segmentos médios sobrepostos para calcular densidades espectrais de potência é conhecida como método de Welch . Acredito que a extensão de usar isso para estimar as funções de transferência também seja conhecida como método de Welch, embora não tenha certeza se isso é mencionado no artigo de Welch. Consultar o artigo de Welch pode ser um recurso valioso. Uma monografia útil sobre o assunto é o livro de Bendat e Piersol, Random Data: Analysis and Measurement Procedures .

Validação

Para validar seu software, sugiro aplicar vários casos de teste, nos quais você gera ruído branco gaussiano e o alimenta através de um filtro digital com uma função de transferência conhecida. Alimente as entradas e saídas em sua rotina de estimativa da função de transferência e verifique se a estimativa converge para o valor conhecido da função de transferência.

— nibot
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ah! obrigado. vou investigar / tentar isso.

— andrew cooke

@nibot O que, exatamente, comprimentos FFT são usados aqui?

— Spacey

Você pode usar qualquer comprimento. O comprimento determina a resolução e, implicitamente (com uma quantidade fixa de dados para trabalhar), o número de médias. Fft mais longo = melhor resolução, mas também erros maiores devido a ter menos médias.

— Nibot

ok, outra diferença é que você tem <F (y) F * (x)> / <F (x) F * (x)> enquanto Phonon tem <F (y)> <F * (x)> / (< F (x)> <F * (x)>) diz: o (

— andrew cooke

Não faz sentido calcular <F (y)> <F * (x)> / (<F (x)> <F * (x)>), pois os <F * (x)> serão cancelados imediatamente. Eu acho que está correto como eu escrevi.

— Nibot

Bem-vindo ao processamento de sinais!

Você está absolutamente correto. Você não pode simplesmente média de magnitudes e fases da DFT separadamente, especialmente fases. Aqui está uma demonstração simples:

$z = a+bi$ $|z|$ $\angle z$ $z$

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

∠ z = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

$\angle z = \tan ^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$

$z$ $z_1$ $z_2$

z = \frac{z_{1} + z_{2}}{2} = \frac{a_{1} + b_{1} i + a_{2} + b_{2} i}{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i}{2}

$z = \frac{ z_1 + z_2 } {2} = \frac{ a_1+b_1i + a_2 + b_2i } {2} = \frac{ (a_1+a_2) + (b_1 + b_2)i } {2}$

Nesse caso,

| z | = \sqrt{\frac{(a_{1} + a_{2})^{2}}{4} + \frac{(b_{1} + b_{2})^{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(a_{1} + a_{2})^{2} + (b_{1} + b_{2})^{2}} \neq \frac{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}{2}

$|z| = \sqrt{\frac{(a_1+a_2)^2}{4} + \frac{(b_1+b_2)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}\neq \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}+\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{2}$

Além disso,

∠ z = \frac{\tan^{- 1} (\frac{b_{1}}{a_{1}}) + \tan^{- 1} (\frac{b_{2}}{a_{2}})}{2} \neq \tan^{- 1} (\frac{2 (b_{1} + b_{2})}{2 (a_{1} + a_{2})})

$\angle z = \frac{\tan ^{-1} \left( \frac{b_1}{a_1} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{b_2}{a_2} \right)}{2} \neq \tan ^{-1} \left( \frac{2(b_1+b_2)}{2(a_1+a_2)} \right)$

$|z|$ $\angle z$

Agora, para fazer o que você está tentando fazer, sugiro o seguinte. Teoricamente, você pode encontrar uma resposta de impulso de um sistema dividindo o DFT da saída pelo DFT da entrada. No entanto, na presença de ruído, você obterá resultados muito estranhos. Uma maneira um pouco melhor de fazer isso seria usar a estimativa de resposta de impulso FFT de canal duplo, que é a seguinte (derivação não fornecida aqui, mas você pode encontrá-la online).

$G_i(f) = \dfrac{ F^1_i(f) + F^2_i(f) + \cdots + F^N_i(f) }{N}$ $F^k_i(f)$ $k$ $k$ $i$ $G_o(f) = \dfrac{ F^1_o(f) + F^2_o(f) + \cdots + F^N_o(f) }{N}$ $G$ $\hat{H}(f)$ $H(f)$

\hat{H} (f) = \frac{G_{o} (f) G_{i}^{*} (f)}{| G_{i} (f) |^{2}}

$\hat{H}(f) = \frac{G_o(f)G_i^*(f)}{|G_i(f)|^2}$

$(\cdot)^*$

— Phonon
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obrigado; Eu não tinha certeza se votaria neste ou na melhor resposta da Nibot - acho que eles estão defendendo o mesmo processo, então fui com a recomendação do livro, mas se eu tivesse dois votos também o incluiria ...

— andrew cooke

@andrewcooke Sim, ambos estão defendendo exatamente a mesma coisa. Espero que isso esclareça as coisas para você e seus colegas.

— Phonon

tem sido uma grande ajuda para mim (obrigado novamente). na segunda-feira, sugerirei que (1) implemente o método sugerido e (2) faça comparações com dados conhecidos (sintéticos) dos três. então espero que a melhor abordagem vai ganhar: o)

— Andrew Cooke

@Phonon Quais comprimentos de FFT estamos usando para calcular as FFTs aqui? length_of_signal + max_length_of_channel + 1?

— Spacey

@ Mohammad Tem que ser pelo menos o dobro do atraso que você espera encontrar. Isso se deve à simetria circular da DFT, portanto, você obterá valores de atraso causais e não causais em seu resultado.

— Phonon

Essa é uma diferença entre a média coerente e incoerente dos espectros de FFT. A média coerente tem mais probabilidade de rejeitar ruídos aleatórios na análise. Incoerente tem mais probabilidade de acentuar magnitudes de ruído aleatórias. Qual destes é mais importante para o seu relatório de resultados?

— hotpaw2
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se eles derem resultados diferentes, acho que quero uma estimativa imparcial. ou é imparcial?

— andrew cooke