Como ajustar uma elipse aos dados 2D

Gostaria de encontrar o "melhor" ajuste de uma elipse para formas contíguas e possivelmente côncavas, como:

O que eu tentei?

Eu pensei que alguém poderia atribuir a direção dos eixos maiores e menores $\vec a, \vec b$da elipse, mapeando os valores de pixel para coordenadas, subtraindo significa e salvando os dois maiores vetores próprios de um PCA. O parece funcionar bastante bem em encontrar a direção:

Meu problema é determinar o comprimento desses dois vetores. Por enquanto, eu usei$\sqrt \lambda_1$ $\sqrt \lambda_2$, a partir dos valores próprios do PCA. Isso parece subestimar o comprimento. Como posso determinar$|\vec a|$e $|\vec b|$ ou, alternativamente, melhor encaixar uma elipse nessas formas?

Seguindo minha resposta excluída ... Se você fizer uma elipse preenchida e projetar todos os pontos no $x$No eixo, mais pontos serão projetados perto da origem do que nos extremos, em uma distribuição em forma circular. Não é uma distribuição gaussiana, nem a distribuição uniforme que mencionei na analogia 1-D na minha resposta excluída. A distribuição resultante na verdade tem pdf$p(x) = \sqrt{(1 - (\frac{x}{r})^2)}$e a partir daí você pode calcular que o desvio padrão é $\frac{r}{2}$.

Assim, se os dados são distribuídos uniformemente no interior de uma elipse de raios $a, b$ (cujos eixos são os $x$ e $y$ eixos), o desvio padrão da $x$ coordenada é $\frac{a}{2}$ e do $y$ coordenada é $\frac{b}{2}$. Portanto, o fator de correção que você precisa usar é simplesmente 2.

Aqui está um exemplo trabalhado em python recuperando o centro (matriz de translação), matriz de rotação e raios de uma elipse a partir de pontos amostrados aleatoriamente em seu interior:

import numpy

# Generate some points distributed uniformely along an ellipse
x = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
y = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
d = (x / 0.5) ** 2 + (y / 0.25) ** 2
inside = numpy.where(d < 1)[0]
x = x[inside]
y = y[inside]
data = numpy.hstack((x, y)).T

# Now rotate by 0.5 rad and translate it to (4, -8)
angle = 0.5
rotation = numpy.array([
    [numpy.cos(0.4), -numpy.sin(0.4)],
    [numpy.sin(0.4), numpy.cos(0.4)]])

data = numpy.dot(rotation, data)
data[0, :] += 4
data[1, :] -= 8

# Step 1: center the data to get the translation vector.
print 'Translation', data.mean(axis=1)
data -= numpy.reshape(data.mean(axis=1), (2, 1))

# Step 2: perform PCA to find rotation matrix.
scatter = numpy.dot(data, data.T)
eigenvalues, transform = numpy.linalg.eig(scatter)
print 'Rotation matrix', transform

# Step 3: Rotate back the data and compute radii.
# You can also get the radii from smaller to bigger
# with 2 / numpy.sqrt(eigenvalues)
rotated = numpy.dot(numpy.linalg.inv(transform), data)
print 'Radii', 2 * rotated.std(axis=1)

Verifique o encaixe direto das reticências dos mínimos quadrados por Fitzgibbon et al. É um problema simples de autovalor, cujo tamanho não é proporcional ao número de pixels em sua amostra! O único passo dependente do número de pixels que você lança é o cálculo de uma matriz de dispersão, que ainda é$O(n)$.