qual é a diferença entre

Estou tentando entender Fourier Transform e Laplace Transform. Qual é a diferença entre a notação e ? $X(j\omega)$ $X(\omega)$

qual é o significado de ? É representar frequência? Se for, qual é o significado da frequência imaginária? $j\omega$

Desde já, obrigado.

fourier-transform laplace-transform

— verdery
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A transformação Laplace cobre todo o plano 2D S. A transformada de Fourier é apenas a fatia 1D daquele plano ao longo do eixo jco

— endolith

Ambas as notações são comuns e corretas. Como apontado por Yuri Nenakhov, a vantagem do argumento $j\omega$ é que coincide com a variável complexa (transformada de Laplace) $s$ quando sua parte real é zero. Note que no complexo $s$ -planeja o eixo da frequência é o eixo imaginário. assim $j\omega$ não tem nada a ver com frequência complexa (o que não faz sentido).

Então, se a transformada de Laplace $X(s)$ de um sinal $x(t)$ existe, e se o eixo imaginário estiver dentro de sua região de convergência, a transformação de Fourier é obtida definindo $s=j\omega$ .

Observe que isso não funciona em geral! Em geral, você não pode obter a transformação de Fourier substituindo $s$ com $j\omega$ e vice versa. Duas condições devem ser atendidas para que isso leve a um resultado correto:

Ambas as transformações devem existir (no sentido de que o sinal correspondente $x(t)$ tem uma transformação de Laplace e uma transformação de Fourier).
O eixo imaginário $s=j\omega$ deve estar dentro da região de convergência da transformação de Laplace.

Um exemplo em que a substituição $s$ de $j\omega$ não funciona, mesmo que as duas transformações existam, é a função step:

\begin{aligned} x (t) = u (t) \\ Laplace transform: & X (s) = \frac{1}{s} \\ Fourier transform: & \hat{X} (j ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq X (s) |_{s = j ω} \end{aligned}

$\begin{align}&x(t)=u(t)\\\text{Laplace transform: }&X(s)=\frac{1}{s}\\ \text{Fourier transform: }&\hat{X}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\neq X(s)|_{s=j\omega}\end{align}$

— Matt L.
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Eu discordo do seu exemplo. Claramente, a transformação de Laplace da função Heaviside não existe em s = 0 (e existe no eixo imaginário também apenas por continuação analítica); portanto, seus próprios requisitos falham. Observe também que a transformada de Fourier e a transformada de Laplace coincidem onde ambas são definidas.

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: A transformação de Laplace da função step existe. Tem um poste

s = 0

$s=0$ . Isso é diferente dos casos em que a transformação de Laplace não existe (como para

x (t) = \sin (ω t)

$x(t)=\sin(\omega t)$ ) Se você não está dizendo que a transformação de Fourier de

x (t) = u (t)

$x(t)=u(t)$ pode ser obtido de

X (s)

$X(s)$ definindo

s = j ω

$s=j\omega$ (o que está errado), não tenho certeza do que você está dizendo.

— Matt L.

Estou dizendo que a transformação de Laplace não existe em s = 0 e, estritamente falando, nem existe em real (s) = 0. A integral imprópria não converge para lá. Você pode corrigir isso aplicando uma atribuição de valor principal de Cauchy à integral ou continuando analiticamente a transformação Laplace em reais (s)> 0. Mas faça o que fizer, você não pode corrigi-lo para s = 0. Portanto, a transformação de Laplace não existe em todo lugar no eixo imaginário e, se você é realmente rigoroso, não existe em nenhum lugar no eixo imaginário no sentido adequado.

— Jazzmaniac

É por isso que o desacordo entre a transformada de Laplace e a transformada de Fourier em

s = 0

$s=0$ ou

ω = 0

$\omega=0$ é o mínimo que você pode esperar. Não é muito mais do que uma coincidência feliz, após algumas boas propriedades da continuação analítica, que você obtém o resultado correto em

s = ω * j

$s=\omega*j$ para

ω \neq 0

$\omega \neq 0$ . Então, eu concordo com o seu exemplo, mas não com a premissa "... mesmo que ambas as transformações existam ...".

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: OK, mas a ideia do exemplo era mostrar um caso simples em que com

X (s)

$X(s)$ a transformação de Laplace,

X (j ω)

$X(j\omega)$ não (para todos

ω

$\omega$ ) igual à transformada de Fourier. E ainda, ambas as transformações existem para esse exemplo. Obviamente, o ROC de

X (s)

$X(s)$ é

R e {s} > 0

$Re\{s\}>0$ . A função step tem uma transformação de Laplace e uma transformação de Fourier, é tudo o que quero dizer quando digo que as duas existem. Vou adicionar mais dois exemplos mais tarde, onde um dos dois não existe, para deixar meu argumento um pouco mais claro.

— Matt L.

$X(j \omega)$ (resposta em frequência) é uma transformação de Fourier da resposta ao impulso do sistema. Na verdade, é uma função da frequência ( $\omega$ ), mas geralmente é escrito como $X(j \omega)$ porque substituindo $j \omega$ na fórmula com $s$ dará a transformação Laplace do sistema $X(s)$ sem conversões adicionais. (Isso também funciona na direção oposta: se você tiver uma transformação de Laplace, poderá obter resposta de frequência substituindo $s$ com $j \omega$ .)

— Yuri Nenakhov
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Observe que a substituição

s

$s$ com

j ω

$j\omega$ e vice-versa geralmente não é uma maneira válida de obter a transformação de Fourier a partir da transformação de Laplace ou o contrário. Veja minha resposta.

— Matt L.