Diferença entre densidade espectral de potência, potência espectral e relações de potência?

O que 'exatamente' é a densidade espectral de potência para sinal discreto? Eu sempre assumi que, ao tomar a transformada de Fourier do sinal, a razão da magnitude desejada da faixa de frequência em toda a faixa de freqüência fornece a taxa de potência para essa faixa de frequência que é igual à densidade espectral de potência. Isso está errado? Ler um artigo de um aluno me deixou confuso, pois ele diz que calcula o PSD e, em seguida, 'poderes espectrais absolutos e relativos nas bandas desejadas'. Eles são diferentes? Se sim, como alguém calcula isso?

psd power-spectral-density

— anasimtiaz
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Não tenho idéia do que o seu cálculo da densidade espectral de potência fornece, pois não consigo entendê-lo.

Se um sinal tiver transformada de Fourier $x(t)$ , sua densidade espectral de potência é . A potência espectral absoluta na faixa de frequências de Hz a Hz é a potência total nessa faixa de frequências, ou seja, a potência total fornecida na saída de umfiltro passa-bandaideal(ganho unitário) que passa por todas as frequências de Hz a $X(f)$ $|X(f)|^2 = S_X(f)$ $f_0$ $f_1$ $f_0$ $f_1$ Hz e para tudo o resto. Assim, A potência espectral relativa mede a razão entre a potência total na banda (ou seja, potência espectral absoluta) e a potência total no sinal. Assim,

Potência espectral absoluta em banda = \int_{- f_{1}}^{- f_{0 0}} S_{X} (f) d f + \int_{f_{0 0}}^{f_{1}} S_{X} (f) d f .

$\text{Absolute Spectral Power in Band} = \int_{-f_1}^{-f_0} S_X(f)\,\mathrm df + \int_{f_0}^{f_1} S_X(f)\,\mathrm df.$

Potência espectral relativa em banda = \frac{\int_{- f_{1}}^{- f_{0 0}} S_{X} (f) d f + \int_{f_{0 0}}^{f_{1}} S_{X} (f) d f}{\int_{- \infty}^{\infty} S_{X} (f) d f} .

$\text{Relative Spectral Power in Band} = \frac{\displaystyle\int_{-f_1}^{-f_0} S_X(f)\,\mathrm df + \int_{f_0}^{f_1} S_X(f)\,\mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} S_X(f)\,\mathrm df}.$

— Dilip Sarwate
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Como observação adicional, você também pode definir a densidade espectral de potência de um processo aleatório estacionário de sentido amplo como a transformada de Fourier da função de autocorrelação do processo . Isso é conhecido como teorema de Wiener-Khinichin .

— Jason R

@JasonR Eu não entrei nesse aspecto da questão, mas é claro que

é a transformada de Fourier da função de autocorrelação

da determinística

S_{x} (f) = | X (f) |^{2} = X (f) X^{*} (f)

$S_x(f) = |X(f)|^2 = X(f)X^*(f)$

R_{x} (τ)

$R_x(\tau)$

x (t)

$x(t)$

R_{x} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t - τ) d t

$R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t+\tau)\,\mathrm dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau)\,\mathrm dt$

x (t \pm τ)

$x(t \pm \tau)$

x (t)

$x(t)$

R_{x} (τ)

$R_x(\tau)$

t

$t$

x (t)

$x(t)$

R_{x} (τ)

$R_x(\tau)$

t

$t$

t

$t$

R_{X} (t_{1}, t_{2})

$R_X(t_1,t_2)$

E [X (t_{1}) X (t_{2})]

$E[X(t_1)X(t_2)]$

R_{X} (t_{1}, t_{2})

$R_X(t_1,t_2)$

t_{1} - t_{2}

$t_1-t_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

Faz sentido. Estou na mesma página agora.

— Jason R