Gostaríamos de calcular a relação quantitativa entre o ruído analógico próximo à frequência LO e as estatísticas dos pontos encontrados no plano de QI após a desmodulação do QI. Para entender completamente a questão, primeiro fornecemos uma descrição detalhada do sistema de desmodulação de QI.

Sistema de desmodulação QI

Um mixer de QI capta sinais em alta frequência e os leva a uma frequência mais baixa para que possam ser processados com mais facilidade. A Figura 1 mostra um esquema de um misturador de QI. O sinal do oscilador local (LO) ) é usado para misturar o sinal de RF para uma frequência mais baixa. $\cos(\Omega t$

Sistema completo de desmodulação de QI Figura 1: Cadeia completa de processamento de sinal. O sinal de frequência de microondas (e o ruído) entram no misturador de QI através da porta RF. Este sinal é misturado com um oscilador local (LO) para converter os sinais de frequência intermédia e . Os sinais de frequência intermediária são então filtrados para remover o componente de alta frequência restante (consulte o texto) e amostrados digitalmente. A detecção da amplitude e fase de cada componente de frequência é feita via transformada de Fourier discreta na lógica digital. $I$ $Q$

Sinal coerente - caixa dc

Suponha que no sinal de RF recebido . Então os sinais e seriam Passamos esses sinais através de filtros passa-baixo para remover os termos , produzindo Como podemos ver, o dc e $M \cos(\Omega t + \phi)$ $I$ $Q$

\begin{aligned} Eu (t) & = \frac{M}{2} porque (ϕ) + \frac{M}{2} porque (2 Ω t + ϕ) \\ Q (t) & = - \frac{M}{2} pecado (ϕ) - \frac{M}{2} pecado (2 Ω t + ϕ) . \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) + \frac{M}{2} \cos(2\Omega t + \phi) \\ Q(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) - \frac{M}{2} \sin(2\Omega t + \phi) \, . \end{align}$

2 Ω

$2 \Omega$

\begin{aligned} {Eu}_{F} (t) & = \frac{M}{2} porque (ϕ) \\ Q_{F} (t) & = - \frac{M}{2} pecado (ϕ) . \end{aligned}

$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) \\ Q_F(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) \, . \end{align}$

I

$I$

Q

$Q$ as tensões podem ser consideradas como as coordenadas cartesianas que fornecem a amplitude e a fase do sinal original. Portanto, o mixer fez o seu trabalho de nos permitir encontrar a amplitude e a fase de um sinal de alta frequência, fazendo apenas medições de baixa frequência.

Sinal coerente - caixa ac

Na prática, geralmente não desmodulamos o sinal de RF em CC. Há várias razões para isso:

A densidade espectral do ruído quase sempre aumenta acentuadamente em baixas frequências.
Se quisermos medir simultaneamente a amplitude e a fase de vários componentes sinusoidais em diferentes frequências, não podemos desmodular diretamente a CC na parte analógica do sistema.

Como um exemplo relacionado ao item 2, podemos ter Para encontrar a amplitude e a fase de ambos os componentes de frequência, devemos usar um processamento de sinal um pouco mais complexo. O e onda formas, neste caso, são Para encontrar amplitudes e fases, precisamos essencialmente executar uma transformação de Fourier. Para isso, digitalizamos as formas de onda, produzindo

R F (t) = M_{1 1} porque ([Ω + ω_{1 1}] t + ϕ_{1 1}) + M_{2} porque ([Ω + ω_{2}] t + ϕ_{2}) .

$\begin{equation} RF(t) = M_1 \cos([\Omega + \omega_1] t + \phi_1 ) + M_2 \cos([\Omega + \omega_2] t + \phi_2) \, . \end{equation}$

I_{F}

$I_F$

Q_{F}

$Q_F$

\begin{aligned} {Eu}_{F} (t) & = \frac{M_{1 1}}{2} porque (ω_{1 1} t + ϕ_{1 1}) + \frac{M_{2}}{2} porque (ω_{2} t + ϕ_{2}) \\ Q_{F} (t) & = - \frac{M_{1 1}}{2} pecado (ω_{1 1} t + ϕ_{1 1}) - \frac{M_{2}}{2} pecado (ω_{2} t + ϕ_{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 t + \phi_2) \\ Q_F(t) &= -\frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) \, . \end{align}$

\begin{aligned} {Eu}_{n} & = \frac{M_{1 1}}{2} porque (ω_{1 1} n δ t + ϕ_{1 1}) + \frac{M_{2}}{2} porque (ω_{2} n δ t + ϕ_{2}) \\ Q_{n} & = - \frac{M_{1 1}}{2} pecado (ω_{1 1} n δ t + ϕ_{1 1}) - \frac{M_{2}}{2} pecado (ω_{2} n δ t + ϕ_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} I_n &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 n \delta t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \\ Q_n &= - \frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 n \delta t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \end{align}$ onde é o intervalo de amostragem digital. Então, na lógica digital, construímos a série complexa definida por . Para os sinais escritos acima, isso é Se agora, na lógica digital, calcularmos a soma

δ t

$\delta t$

z_{n}

$z_n$

z_{n} \equiv I_{n} + i Q_{n}

$z_n \equiv I_n + i Q_n$

z_{n} = \frac{M_{1 1}}{2} \exp (Eu [ω_{1 1} n δ t + ϕ_{1 1}]) + \frac{M_{2}}{2} \exp (Eu [ω_{2} n δ t + ϕ_{2}]) .

$\begin{equation} z_n = \frac{M_1}{2} \exp \left( i \left[ \omega_1 n \delta t + \phi_1 \right] \right) + \frac{M_2}{2} \exp \left( i \left[ \omega_2 n \delta t + \phi_2 \right] \right) \, . \end{equation}$

Z (ω_{k}) = \frac{1 1}{N} \sum_{n = 0 0}^{N - 1 1} z_{n} e^{- Eu ω_{k} n δ t}

$\begin{equation} Z(\omega_k) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} z_n e^{-i \omega_k n \delta t} \end{equation}$ recuperamos a amplitude e a fase do componente na frequência . Por exemplo, se calculássemos , .

ω_{k}

$\omega_k$

Z (ω_{1})

$Z(\omega_1)$

(M_{1} / 2) \exp (i ϕ_{1})

$(M_1/2) \exp(i \phi_1)$

Ruído

Na prática, o sinal sempre vem com ruído. O efeito do ruído é tornar uma variável aleatória em vez de um valor determinístico. Em outras palavras, para cada é aleatório e será diferente para cada realização do experimento. $Z(\omega)$ $\omega$ $Z(\omega)$

Podemos deduzir da intuição que, na presença de ruído, tem uma distribuição circular simétrica no plano de QI com média igual ao valor determinístico . A questão é o que exatamente é a distribuição estatística de na presença de ruído? $Z(\omega)$ $(M/2)\exp(i \phi)$ $Z$

— DanielSank
fonte

Como cada etapa da cadeia de processamento é linear, consideramos um caso apenas com ruído e sem sinal coerente. Indique o ruído . Os sinais e são Expressamos o efeito do filtro como uma convolução com a função de resposta no tempo , e da mesma forma para . Observe que, como o filtro é causal, para . A amostragem simplesmente seleciona o valor de e $\xi(t)$ $I$ $Q$

\begin{aligned} I (t) & = ξ (t) \cos (Ω t) \\ Q (t) & = - ξ (t) \sin (Ω t) . \end{aligned}

$\begin{align}\ I(t) &= \xi(t) \cos(\Omega t) \\ Q(t) &= - \xi(t) \sin(\Omega t) \, . \end{align}$

h

$h$

I_{F} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (t^{'}) \cos (Ω t^{'}) h (t - t^{'})

$\begin{equation} I_F(t) = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(t - t') \end{equation}$

Q_{F}

$Q_F$

h (t) = 0

$h(t)=0$

t < 0

$t<0$

I_{F}

$I_F$

Q_{F}

$Q_F$ nos horários , e da mesma forma para . Seguindo a construção descrita acima para a parte digital da cadeia de processamento, temos Nosso problema, portanto, é calcular as estatísticas dessa expressão.

{n δ t}

$\{ n \delta t \}$

I_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (t^{'}) \cos (Ω t^{'}) h (n δ t - t^{'})

$\begin{equation} I_n = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(n \delta t - t') \end{equation}$

Q_{n}

$Q_n$

Z (ω) = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (t^{'}) e^{- i Ω t^{'}} h (n δ t - t^{'}) e^{- i ω n δ t} .

$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') e^{-i \Omega t'} h(n \delta t - t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$

Alterando variáveis produz Nesta etapa, podemos fazer uma verificação de integridade calculando o valor médio de . Lembre-se, esta é uma média de conjunto . Em outras palavras, estamos computando o valor médio de que encontraríamos convertendo muitas instâncias de ruído desmodulado em pontos de QI e depois calculando a média de todos esses pontos. De qualquer forma, o resultado é $n \delta t - t' \rightarrow t'$

Z (ω) = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (n δ t - t^{'}) e^{- i Ω (n δ t - t^{'})} h (t^{'}) e^{- i ω n δ t} .

$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(n \delta t - t') e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$

Z (ω)

$Z(\omega)$

Z (ω)

$Z(\omega)$

\begin{aligned} ⟨ Z (ω) ⟩ & = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} \underset{0}{\underset{⏟}{⟨ ξ (n δ t - t^{'}) ⟩}} e^{- i Ω (n δ t - t^{'})} h (t^{'}) e^{- i ω n δ t} \\ = 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \langle Z(\omega) \rangle &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \underbrace{\langle\xi(n \delta t - t')\rangle}_0 e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \\ &= 0 \, . \end{align}$ Isso faz sentido, pois esperamos que o ruído não mude o valor médio do ponto de QI desmodulado, mas adicione apenas alguma aleatoriedade centrada no valor determinístico.

Como não sei calcular as estatísticas de diretamente, adotamos uma abordagem alternativa computando o quadrado médio de . Pelo teorema do limite central, as partes reais e imaginárias de devem ser pelo menos aproximadamente Guassianas distribuídas (e, como mostraremos, não correlacionadas), portanto, encontrar o módulo quadrado médio de realmente nos diz tudo o que precisamos saber. $Z(\omega)$ $Z(\omega)$ $Z$ $Z$

Prosseguimos construindo diretamente e obtendo a média estatística (a média estatística é denotada por ). $|Z(\omega)|^2$ $\langle \cdot \rangle$

\begin{aligned} ⟨ {| Z (ω) |}^{2} ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} d t^{″} \frac{1}{N^{2}} \sum_{n, m = 0}^{N - 1} \\ e^{i Ω (t^{'} - t^{″})} h (t^{'}) h (t^{″}) ⟨ ξ (n δ t - t^{'}) ξ (m δ t - t^{″}) ⟩ e^{- i (Ω + ω) (n - m) δ t} . (*) \end{aligned}

$\begin{align} \langle \left| Z(\omega) \right| ^2 \rangle &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') \langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'') \rangle e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \, . \qquad (*) \end{align}$

ξ (t)

$\xi(t)$

⟨ ξ (τ) ξ (0) ⟩

$\langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle$

S_{ξ}

$S_\xi$ através da seguinte equação: Usando esta fórmula para produz

⟨ ξ (τ) ξ (0) ⟩ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} S_{ξ} (ω) e^{Eu ω τ} .

$\begin{equation} \langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} S_\xi(\omega) e^{i \omega \tau} \, . \end{equation}$

⟨ ξ (n δ t - t^{'}) ξ (m δ t - t^{″})

$\langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'')$

\begin{aligned} ⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ & = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} d t^{″} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} \frac{1}{N^{2}} \sum_{n, m = 0}^{N - 1} \\ e^{i Ω (t^{'} - t^{″})} h (t^{'}) h (t^{″}) S_{ξ} (ω^{'}) e^{i ω^{'} ((n - m) δ t - (t^{'} - t^{″}))} e^{- i (Ω + ω) (n - m) δ t} \\ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (ω^{'} - Ω) |^{2} S_{ξ} (ω^{'}) {| \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- i (Ω + ω - ω^{'}) n δ t} |}^{2} \\ = \frac{1}{2 N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (ω^{'} - Ω) |^{2} S_{ξ} (ω^{'}) \underset{N^{th} order Fejer kernel}{\underset{⏟}{\frac{1}{N} {(\frac{\sin ([Ω + ω - ω^{'}] δ t N / 2)}{\sin ([Ω + ω - ω^{'}] δ t / 2)})}^{2}}} \\ = \frac{1}{2 N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (ω^{'} - Ω) |^{2} S_{ξ} (ω^{'}) F_{N} ([Ω + ω - ω^{'}] δ t / 2) \end{aligned}

$\begin{align} \langle|Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi}\frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') S_\xi(\omega') e^{i\omega' ((n-m)\delta t - (t' - t''))} e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \left| \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{-i(\Omega + \omega - \omega') n \delta t} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \underbrace{ \frac{1}{N} \left( \frac{\sin([\Omega + \omega - \omega'] \delta t N / 2)}{\sin([\Omega + \omega - \omega']\delta t / 2)} \right)^2 }_{N^{\text{th}}\text{ order Fejer kernel}} \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \mathcal{F}_N([\Omega + \omega - \omega'] \delta t / 2) \\ \end{align}$ onde é o kernel do Fejer da ordem . Alterando variáveis obtemos Até agora, os resultados foram exatos e precisos podem ser encontrados através da avaliação numérica das integrais. Agora, fazemos uma série de suposições relativamente fracas para chegar a uma fórmula prática. O kernel do Fejer tem peso concentrado próximo de . Portanto, integramos mais de

F_{N}

$\mathcal{F}_N$

N^{th}

$N^{\text{th}}$

Ω - ω^{'} \to ω^{'}

$\Omega - \omega' \rightarrow \omega'$

⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ = \frac{1}{2 N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (- ω^{'}) |^{2} S_{ξ} (Ω - ω^{'}) F_{N} ([ω^{'} + ω] δ t / 2) .

$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 S_\xi(\Omega - \omega') \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$

F_{N} (x)

$\mathcal{F}_N(x)$

x = 0

$x=0$

S_{ξ}

$S_\xi$ somente para frequências próximas a e, portanto, nesta integral, podemos aproximar como uma constante , dando Já podemos ver aqui que as estatísticas de ruído do ponto de QI desmodulado dependem apenas da densidade espectral de RF perto da frequência LO. Isso faz sentido; o misturador de QI foi projetado para levar o conteúdo do sinal perto da frequência LO e reduzi-lo a um IF mais baixo, onde pode ser processado. Os filtros anti-aliasing removem todos os componentes de frequência que estão muito longe do LO.

Ω

$\Omega$

S_{ξ}

$S_\xi$

S (Ω - ω^{'}) \approx S_{ξ} (Ω)

$S(\Omega - \omega') \approx S_\xi(\Omega)$

⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ = \frac{1}{2 N} S_{ξ} (Ω) \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (- ω^{'}) |^{2} F_{N} ([ω^{'} + ω] δ t / 2) .

$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} S_\xi(\Omega) \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$

O primeiro nulo de ocorre em e a maior parte do peso está contida nos primeiros lobos. Os primeiros nulos estão, portanto, em Isto significa que a sobre integrante é dominado por frequências numa gama dada pela frequência de amostragem dividido por . Nas aplicações mais práticas, esse intervalo é tão pequeno que é aproximadamente constante nesse intervalo. Se for esse o caso, podemos substituir por (observe que ) encontrando $\mathcal{F}_N(x)$ $x = 2\pi / N$

\frac{ω_{null}^{'}}{2 π} = - \frac{ω}{2 π} \pm \frac{1}{N δ t} .

$\begin{equation} \frac{\omega'_{\text{null}}}{2\pi} = - \frac{\omega}{2\pi} \pm \frac{1}{N \delta t} \, . \end{equation}$

ω^{'}

$\omega'$

N

$N$

h (ω)

$h(\omega)$

h (- ω^{'})

$h(-\omega')$

h (ω)

$h(\omega)$

h (- ω) = h (ω)

$h(-\omega) = h(\omega)$

\begin{aligned} ⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ & = \frac{1}{2 N} S_{ξ} (Ω) | h (ω) |^{2} \underset{1 / δ t}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} F_{N} ([ω^{'} + ω] δ t / 2 N)}} \\ = \frac{S_{ξ} (Ω)}{2 T} | h (ω) |^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2N}S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2 \underbrace{ \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \mathcal{F}_N([\omega' + \omega] \delta t / 2 N) }_{1 / \delta t} \\ &= \frac{S_\xi(\Omega)}{2 T} |h(\omega)|^2 \end{align}$ onde é o tempo total de medição.

T \equiv N δ t

$T \equiv N \delta t$

A relação sinal-ruído

É razoavelmente bem sabido que, se uma variável aleatória tiver partes reais e imaginárias gaussianas e independentemente distribuídas e tiver módulo médio quadrado , então as distribuições das partes reais e imaginárias dessa variável terão desvio padrão . Portanto, considerando nosso resultado para , nossa observação de que as partes reais e imaginárias de são gaussianas distribuídas e o fato de não serem correlacionadas sabemos que os desvios padrão das distribuições das partes reais e imaginárias são $Z$ $R$ $\sqrt{R/2}$ $^{[a]}$ $\langle |Z(\omega)|^2 \rangle$ $Z$ $^{[b]}$

σ = \sqrt{S_{ξ} (Ω) | h (ω) |^{2} / 4 T} .

$\begin{equation} \sigma = \sqrt{S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4 T} \, . \end{equation}$ Como discutido no início, um sinal se torna no plano de QI. É claro que ignoramos o efeito do filtro, que é simplesmente escalar a amplitude para Suponha-se, como ilustrado na Figura 2, que está a utilizar o sistema de desmodulao IQ para distinguir entre dois ou mais sinais, cada um com uma fase diferente, mas com todas a mesma amplitude . Devido ao ruído, cada uma das amplitudes / fases possíveis leva a uma nuvem de pontos no plano QI com distância radial da origem. A distância entre os centros de duas nuvens é

M \cos ([Ω + ω] t + ϕ)

$M \cos([\Omega + \omega] t + \phi)$

(M / 2) e^{i ϕ}

$(M/2)e^{i \phi}$

Z (ω) = \frac{M | h (ω) |}{2} e^{i ϕ} .

$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{M |h(\omega)|}{2} e^{i \phi} \, . \end{equation}$

M

$M$

M | h (ω) | / 2

$M |h(\omega)|/2$

g (M / 2) | h (ω) |

$g(M/2)|h(\omega)|$ onde é um fator geométrico que depende das fases das nuvens. Se o ângulo do arco entre duas nuvens é e o centro de cada nuvem é equidistante da origem, então . Por exemplo, se as duas fases forem então . Geometricamente, isso ocorre porque a distância entre os centros das nuvens é duas vezes maior que a distância entre as nuvens e a origem.

g

$g$

θ

$\theta$

g = 2 \sin (θ / 2)

$g = 2 \sin(\theta / 2)$

\pm π / 2

$\pm\pi/2$

g = 2 \sin (π / 2) = 2

$g=2 \sin(\pi/2) = 2$

A relação sinal-ruído (SNR) é onde é a potência analógica de entrada. Observe que o SNR não depende de . Para lembrar este resultado, nota que a potência de ruído é a densidade espectral multiplicado por uma largura de banda . Tomando , vemos que nosso resultado diz apenas que o SNR no plano de QI é exatamente igual ao SNR analógico multiplicado pelo fator geométrico .

\begin{aligned} SNR & \equiv \frac{{separation}^{2}}{2 \times (cloud std deviation)^{2}} \\ = \frac{(g M | h (ω) | / 2)^{2}}{2 S_{ξ} (Ω) | h (ω) |^{2} / 4 T} \\ = \frac{(g M)^{2} T}{2 S_{ξ} (Ω)} \\ = \frac{g^{2} P T}{S_{ξ} (Ω)} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{SNR} & \equiv \frac{\text{separation}^2}{2 \times (\text{cloud std deviation})^2} \\ &= \frac{(g M |h(\omega)|/2)^2}{2 S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4T} \\ &= \frac{(g M)^2 T}{2 S_\xi(\Omega)}\\ &= \frac{g^2 P T}{S_\xi(\Omega)} \, . \end{align}$

P \equiv M^{2} / 2

$P \equiv M^2/2$

h

$h$

B

$B$

B = 1 / T

$B = 1/T$

g^{2}

$g^2$

insira a descrição da imagem aqui

Figura 2: Duas nuvens de QI. A separação entre os centros das nuvens é proporcional à sua magnitude radial , mas escalada por um fator geométrico . Projetadas na linha que liga seus centros, cada nuvem se torna uma distribuição gaussiana com largura . $M$ $g$ $\sqrt{S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2/4T}$

$[a]$ : procure a distribuição do quadrado chi .

$[b]$ : Podemos ver que as partes reais e imaginárias de são de fato não correlacionadas, escrevendo o equivalente da equação mas para . Fazendo isso, descobriríamos que a soma que se transformou no kernel do Fejer no caso de chegaria a zero (pelo menos aproximadamente) porque seria aproximadamente a sobreposição de um seno e cosseno, que são ortogonais. $Z$ $(*)$ $\langle \Re Z \Im Z \rangle$ $\langle |Z|^2 \rangle$