Simetria discreta de transformada de Fourier

Eu estava lendo o capítulo sobre transformadas discretas de Fourier no livro de Lyons - Entendendo o processamento de sinais digitais - e não conseguia entender o último parágrafo sobre simetria.

Há uma propriedade de simetria adicional da DFT que merece menção neste momento. Na prática, ocasionalmente somos solicitados a determinar a DFT das funções reais de entrada em que o índice de entrada é definido sobre valores positivos e negativos. Se essa função de entrada real é par, então é sempre real e par; isto é, se o real , então, é geralmente diferente de zero e é zero. Por outro lado, se a função de entrada real é ímpar, , então é sempre zero e é , em geral, diferente de zero.$n$$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$$x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Nota:$X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• Em primeiro lugar, o que se entende por "ímpar" e "par"? Eu suspeito que seja o número de amostras no sinal de entrada, mas isso me leva à minha segunda pergunta,
• Por que zero com funções reais de entrada pares e por que, com funções de entrada reais ímpares, é zero e geralmente diferente de zero?X real ( m ) X imag ( m $X_{\textrm{imag}}(m)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Par e ímpar referem-se à simetria em torno de .$n = 0$

Par significa ; você pode obter a peça para simplesmente espelhando a peça para na linha .n < 0 n > 0 n = $x[n] = x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$

Ímpar significa ; você pode obter a peça para simplesmente espelhando a peça para na linha e multiplicando-a por .n < 0 n > 0 n = 0 - $x[n] = -x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$$-1$

Uma onda cosseno é par, a onda senoidal é ímpar.

Estes são apenas casos especiais da simetria geral que diz

se é real em um domínio, é conjugado simétrico no outro.

Conjugado simétrico significa que a parte real é par e a parte imaginária é ímpar. A maioria das pessoas sabe que um sinal de domínio em tempo real como um espectro simétrico conjugado, mas também vai ao contrário: um sinal de domínio simétrico conjugado tem um espectro de valor real.

É claro que a resposta de Hilmar está perfeitamente correta, mas acho que há vários pontos que Lyons não abordou na declaração citada pelo OP (ou talvez ele tenha falado sobre eles anteriormente e optou por não se repetir no parágrafo citado pelo OP) .

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$N$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$N$

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ $m, n$$[0, N-1]$$N$$x[\cdot]$$X[\cdot]$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$x[n+iN] = x[n]$$X[m+iN] = X[m]$$m, n,$$i$

$N$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $N$

Agora, quando Lyons fala de ... onde o índice de entrada n é definido sobre os valores positivos e negativos ... ele está falando do caso periódico e quando diz que uma função par (real) tem a propriedade , essa propriedade deve ser válida para todos os números inteiros . Como a periodicidade também se aplica, temos não apenas que mas e, da mesma forma, . Em outras palavras, a sequência par real cuja DFT é uma sequência par real (como declarado por Lyons e explicado muito bem por Hilmar) é necessariamenten x [ 0 ] , x [ 1 ] , $x[n] = x[-n]$$n$$x[-1] = x[1]$$x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$$x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$da forma que é (além do ) uma sequência palindrômica . Se você estiver particionando seus dados em blocos de comprimento e computando a DFT de cada bloco separadamente, essas DFTs separadas não terão as propriedades de simetria descritas acima, a menos que a DFT seja de um bloco com essa propriedade palíndrica.x [ 0 ]

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ $x[0]$$N$

Apenas para esclarecimentos de funções pares e ímpares,

Par: simétrico em relação ao eixo y Ímpar: simétrico em relação à origem

E sem entrar em detalhes matemáticos, a DFT da função com valor real é simétrica, ou seja, a função de Fourier resultante possui partes reais e imaginárias, que são imagens espelhadas em relação ao componente de frequência 0. Isso não acontece no caso em que você usa o DFT de uma função complexa.