Entendo a Transformada de Fourier, que é uma operação matemática que permite ver o conteúdo da frequência de um determinado sinal. Mas agora, na minha comunicação. claro, o professor introduziu a Hilbert Transform.

Entendo que ele esteja um pouco vinculado ao conteúdo de frequência, pois a Hilbert Transform está multiplicando uma FFT por ou convolvendo a função de tempo com .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Qual é o significado da transformação de Hilbert? Que informações obtemos aplicando essa transformação a um determinado sinal?

Uma aplicação da Hilbert Transform é obter o chamado sinal analítico. Para o sinal , sua Hilbert Transform é definida como uma composição:$s(t)$s ( t )$\hat{s}(t)$

O sinal analítico que obtemos é de valor complexo, portanto, podemos expressá-lo em notação exponencial:

Onde:

$A(t)$ é a amplitude instantânea (envelope)

$\psi(t)$ é a fase instantânea.

Então, como isso é útil?

A amplitude instantânea pode ser útil em muitos casos (é amplamente usada para encontrar o envelope de sinais harmônicos simples). Aqui está um exemplo para uma resposta de impulso:

Em segundo lugar, com base na fase, podemos calcular a frequência instantânea:

O que é novamente útil em muitas aplicações, como detecção de frequência de um tom de varredura, motores rotativos etc.

Outros exemplos de uso incluem:

• Amostragem de sinais de banda estreita em telecomunicações (principalmente usando filtros Hilbert).

• Imagens médicas.

• Processamento de matriz para Direção de chegada.

• Análise de resposta do sistema.

$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ mantém todas as informações iniciais, mais sua "amplitude" é diretamente um módulo de 1. Todas as opções acima requerem cuidados, pois a noção de limitação de banda e localidade entra em jogo.

A transformação de Hilbert (e a transformação de Riesz em dimensões mais altas) podem ser uma ferramenta mais fundamental. Gosto do prólogo do capítulo 2 em Explorações em análise harmônica com aplicações à teoria de funções complexas e ao Grupo Heisenberg , de Steven G. Krantz:

Prólogo: A transformação de Hilbert é, sem dúvida, o operador mais importante na análise. Ele surge em muitos contextos diferentes, e todos esses contextos estão entrelaçados de maneiras profundas e influentes. Tudo se resume a que existe apenas uma integral singular na dimensão 1, e é a transformação de Hilbert. A filosofia é que todas as questões analíticas significativas se reduzem a uma integral singular; e na primeira dimensão, há apenas uma escolha.

As aplicações no processamento de sinal / imagem são numerosas, possivelmente devido às suas propriedades fundamentais: estimativa instantânea de amplitude / frequência, construção de filtros causais apenas para amplitude (relações Kramers-Krönig), wavelets direcionais 2D de pequena redundância, detecção de borda invariável por deslocamento, etc.

Eu também sugeriria os dois volumes de F. King, 2009, transforma Hilbert .

Uma transformação (FT ou Hilbert, etc.) não cria novas informações do nada. Assim, a "informação que você obtém", ou a dimensão adicionada no sinal complexo analítico resultante fornecido por uma transformada de Hilbert de um sinal 1D / real, é uma forma de sumarização do ambiente local de cada ponto desse sinal, associado àquele ponto.

Informações como a fase local e a amplitude do envelope são realmente informações sobre alguma largura ou extensão (até uma extensão infinita) de um sinal em torno de cada ponto local. A transformação de Hilbert, ao gerar um componente de um sinal analítico complexo a partir de um sinal real 1D, compacta algumas informações de uma extensão circundante do sinal em cada ponto único de um sinal, permitindo assim que você tome mais decisões (como desmodular um pouco , representando graficamente uma amplitude de envelope, etc.) em cada ponto ou amostra local (agora complexo), sem ter que digitalizar novamente e / ou processar uma nova janela (wavelet, Goertzel com janela etc.) de alguma largura no sinal em cada ponto.

O sinal analítico produzido pela transformação Hilbert é útil em muitas aplicações de análise de sinal. Se você passa o filtro em banda primeiro, o sinal analítico fornece informações sobre a estrutura local do sinal:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• amplitude indica a força da estrutura no ponto, independente da simetria (fase).

Essa representação foi usada para

• detecção de recursos via energia local (amplitude)
• classificação de recursos usando a fase
• detecção de recurso via congruência de fase

Também foi estendendo-se para dimensões mais altas usando a transformada de Riesz, por exemplo, o sinal monogênico.

A implementação de uma transformação Hilbert nos permite criar um sinal analítico com base em algum sinal original com valor real. E no mundo das comunicações, podemos usar o sinal analítico para calcular com facilidade e precisão a magnitude instantânea do sinal original com valor real. Esse processo é usado na desmodulação AM. Também a partir do sinal analítico, podemos calcular com facilidade e precisão a fase instantânea do sinal com valor real original. Esse processo é usado na desmodulação de fase e FM. Seu professor está correto ao cobrir a transformação Hilbert, porque é muito útil em sistemas de comunicação.

Ótimas respostas já, mas eu gostaria de acrescentar que a conversão de um sinal para sua versão analítica é fácil no domínio digital (o filtro de meia banda necessário possui metade de seus coeficientes iguais a zero), mas uma vez lá, a taxa de amostragem pode ser reduzida metade, dividindo essencialmente o processamento em caminhos reais e imaginários. Obviamente, há um custo aqui e alguns termos cruzados precisam ser tratados, mas geralmente é útil em implementações de hardware quando a taxa de clock é um fator.

Como já explicado em outras respostas, a transformação de Hilbert é usada para obter um sinal analítico que pode ser usado para encontrar o envelope e a fase do sinal.

Outra maneira de olhar a transformação de Hilbert está no domínio da frequência. Como o sinal real possui componentes de frequência positiva e negativa idênticos, portanto, na análise, essa informação é redundante.

A Hilbert Transform é usada para eliminar a parte de frequência negativa e dobrar a magnitude da parte de frequência positiva (para manter a mesma potência).

Aqui, o filtro Hilbert Transform projetado é uma passagem de banda na natureza que passa frequências de 50 MHz a 450 MHz. A entrada é a soma de dois sinais sinusoidais com frequências iguais a 200 MHz e 500 MHz.

A partir do gráfico PSD, podemos ver o componente de frequência negativa do sinal de 200 MHz ser atenuado enquanto o sinal de 500 MHz passa como tal.

Essa pergunta já tem muitas respostas excelentes, mas eu queria incluir este exemplo e explicação muito simples desta página que esclareceram amplamente o conceito e a utilidade da transformação de Hilbert:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ foram '' filtrados ''.

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