A transformação de Laplace é redundante?

A transformação de Laplace é uma generalização da transformação de Fourier, pois a transformação de Fourier é a transformação de Laplace para (isto é, é um número imaginário puro = zero parte real de ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Lembrete:

Transformação de Fourier: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Transformação de Laplace: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Além disso, um sinal pode ser exatamente reconstruído a partir de sua transformação de Fourier, bem como de Laplace.

Como apenas uma parte da transformação de Laplace é necessária para a reconstrução (a parte para a qual ), o restante da transformação de Laplace ( ) parece ser inútil para a reconstrução ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

É verdade?

Além disso, o sinal pode ser reconstruído para outra parte da transformação de Laplace (por exemplo, para ou )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

E o que acontece se computarmos uma transformação de Laplace de um sinal, depois mudarmos apenas um ponto da transformação de Laplace e calcularmos a transformação inversa: voltamos ao sinal original?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
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Por que o voto negativo? Mesmo que a pergunta possa conter conclusões falsas, é algo com o qual você pode lidar muito bem em um comentário ou resposta. A votação silenciosa de uma pergunta na qual alguém aparentemente se esforça não é muito construtiva.

— Jazzmaniac

Eu votei na pergunta. se estou pensando em termos de frequência angular , então gostaria de dizer a transformada de Fourier: e Laplace Transform: . então fica bem claro que eles são a mesma coisa (meio que).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— Robert Bristow-johnson

A transformação de Fourier e Laplace obviamente tem muitas coisas em comum. No entanto, há casos em que apenas um deles pode ser usado ou onde é mais conveniente usar um ou outro.

Primeiro de tudo, mesmo que nas definições você simplesmente substitua por ou vice-versa para passar de uma transformação para outra, isso geralmente não pode ser feito quando são dadas as transformadas Laplace ou Fourier de uma função. (Uso índices diferentes porque as duas funções podem ser diferentes para a mesma função de domínio do tempo). Existem funções para as quais apenas a transformação Laplace existe, por exemplo, , , em que é a função de etapa Heaviside. O motivo é que a integral na definição da transformação de Laplace converge apenas para $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$ , o que implica que a integral correspondente na definição da transformação de Fourier não converge, ou seja, a transformação de Fourier não existe neste caso.

Existem funções para as quais ambas as transformações existem, mas . Um exemplo é a função , para a qual a transformação de Fourier contém impulsos de Dirac delta. $X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

Finalmente, também existem funções para as quais apenas a transformação de Fourier existe, mas não a transformação de Laplace. Isso significa que a integral na definição da transformação de Laplace converge apenas (em um sentido específico) para , mas para nenhum outro valor de . Diz-se que a transformada de Laplace existe apenas se a integral convergir em um semiplano ou em uma faixa vertical de tamanho finito do plano complexo . Tais funções para as quais existe apenas a transformada de Fourier incluem exponenciais e sinusóides complexos ( ) e respostas de impulso dos filtros ideais da parede de tijolos, que estão relacionados à função sinc. Assim, por exemplo, as funções ou $s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$ não tem uma transformação de Laplace, mas eles têm uma transformação de Fourier.

A transformação de Laplace pode ser uma ferramenta conveniente para analisar o comportamento de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) considerando sua função de transferência, que é a transformação de Laplace de sua resposta ao impulso. Os pólos e zeros da função de transferência no plano complexo caracterizam convenientemente muitas propriedades do sistema e são úteis para uma compreensão intuitiva do comportamento do sistema. Além disso, a transformada unilateral de Laplace é muito útil para analisar sistemas LTI com condições iniciais diferentes de zero. A transformada de Fourier é uma ferramenta útil para analisar sistemas ideais (não causais, instáveis), como filtros passa-baixas ideais ou passa-banda. $s$

Veja também esta resposta a uma pergunta relacionada.

— Matt L.
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A transformada de Fourier é uma ferramenta útil para analisar sistemas ideais (não causais, instáveis): você diria causal e estável?

— Vinz

@ user17604: Eu quis dizer o que escrevi. Obviamente, você também pode usá-lo para sistemas causais e estáveis (e não ideais). Mas um uso importante é a análise do sistema ideal (como filtros seletivos de frequência ideais), onde a transformada de Laplace não pode ser usada.

— Matt L.

@MattL. Ótima resposta, mas achei confuso “analisar sistemas de LTI com condições iniciais diferentes de zero”, como um sistema de LTI pode ter condições iniciais diferentes de zero?

@ 0MW: Sim, eu provavelmente deveria ter dito "sistemas que são de outra forma LTI (se estiverem inicialmente inativos)".

— Matt L.