Filtrar estimativa de pedidos

Suponha um número desconhecido, mas pequeno e finito, de polos e zeros no plano Z complexo, todos com conjugados complexos, produzindo alguma resposta. Estritamente a partir do valor absoluto de um conjunto de pontos igualmente espaçados ao redor do círculo unitário, digamos que seja superior a 2X o número de polos e zeros, dessa resposta, é possível estimar ou calcular o número de polos e zeros que produziram a magnitude amostrada resposta?

Adicionado: são necessários mais de 2X pontos de amostra para determinar o número de pólos e zeros? (quando o total for menor que X).

Adicionado: se houver mais de uma solução, uma solução mínima (como no número mínimo de pólos e zeros totais) pode ser encontrada ou estimada?

filters estimation z-transform

— hotpaw2
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Este é um problema muito mais fácil, sem pólos. Isso se tornaria essencialmente o algoritmo no comando matlab / oitava firls.

— precisa

Gostaria de saber se você poderia analisar o numerador e o denominador da resposta em frequência em termos do problema generalizado de autovalor. Você provavelmente precisa assumir fase (linear para começar)

— Mark Borgerding

Acho que os filtros allpass estão descartados! Se pólos e zeros estiverem "próximos o suficiente", acho que você terá problemas quando as amostras da resposta estiverem igualmente espaçadas. De qualquer forma, digamos que você tenha uma resposta que seja plana, exceto por uma pequena protuberância em algum lugar com frequência não muito baixa. Dependendo da sua preferência, você pode modelar isso usando um biquad (2 zeros e 2 pólos) ou modelá-lo usando 4 a 6 zeros. Uma questão relacionada é: dado um conjunto de pólos e zeros, qual é o número mínimo de pontos da resposta de magnitude necessária para calcular com precisão o número de pólos e zeros.

— Niaren 19/06

Eu acho que o problema, como afirmado, não é solucionável. Você pode pegar qualquer sistema arbitrário e colocá-lo em cascata com um ou mais filtros allpass; isso não afetaria sua resposta de magnitude, mas mudaria quantos polos / zeros a cascata possui. Para uma dada resposta de magnitude, haveria infinitamente muitos números de pólos e zeros correspondentes. Pode ser uma história diferente se você tiver acesso à resposta de fase do sistema. Caso contrário, você pode definitivamente estimar a ordem do sistema (usando algum esquema não especificado). Bom problema para se pensar.

— Jason R

Corrigida a pergunta para remover um zoológico infinito de filtros allpass da solução.

— hotpaw2

Teoricamente, é possível fazer isso, embora muitas vezes não seja prático.

Vamos considerar isso no espaço polinomial. Para um filtro da ordem N, você tem 2 * N + 1 variáveis independentes (N para o denominador e N + 1 para o numerador). Vejamos um ponto arbitrário no plano z e digamos que o valor da função de transferência nesse momento seja H ( ). O relacionamento entre a função de transferência e todos os coeficientes de filtro pode ser escrito como uma equação linear em todos os coeficientes de filtro da seguinte maneira: Assim se você escolher M frequências diferentes $z_{k}$ $z_{k}$

\sum_{n = 0}^{2 * N} b_{n} \cdot z_{k}^{- n} - H (z_{k}) \cdot \sum_{n = 1}^{2 * N} a_{n} \cdot z_{k}^{- n} = H (z_{k})

$\sum_{n=0}^{2*N}b_{n}\cdot z_{k}^{-n} - H(z_{k})\cdot \sum_{n=1}^{2*N}a_{n}\cdot z_{k}^{-n}=H(z_{k})$

z_{k}

$z_{k}$ você terminará com um conjunto de M equações lineares complexas ou 2 * M equações reais. Como seu número de incógnitas é ímpar (2 * N + 1), você provavelmente sempre quer escolher uma frequência em que z é real, ou seja, z = 1 ou = 0.

ω

$\omega$

Se M for maior que N, o sistema de equações é linearmente dependente. Você pode encontrar a ordem dos filtros iniciando em N = 1 e aumentando N até que o sistema de equações se torne linearmente dependente. O maior N no qual o sistema é linearmente independente é a ordem real do filtro. Para essa abordagem, nem importa quais frequências você escolhe. Desde que sejam diferentes, qualquer conjunto de frequências funcionará.

No entanto, este é um problema numericamente muito complicado. A representação polinomial para pedidos de filtro maiores é numericamente muito frágil e a menor quantidade de ruído ou incerteza leva a erros numéricos muito grandes. Por exemplo, se você determinar os valores da função de transferência de amostra através da medição, a precisão da medição exigida será proibitiva, a menos que seja um filtro de ordem baixa muito benigno.

— Hilmar
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