filtros IIR complementares

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Eu gostaria de um par de filtros IIR complementares (passa baixo / passa alto). Por complementar, quero dizer, quando a saída dos dois filtros é somada, o sinal original é recuperado. Eu pensei que poderia construir esses pares com filtros butterworth, mas usando um pouco de matemática, descobri que apenas os filtros de primeira ordem eram complementares. Eu pensei que tinha feito isso antes, mas estou esquecendo como.

Algo está errado com a minha matemática? Existe uma solução fácil que estou esquecendo?

Obrigado!

lowpass-filter infinite-impulse-response highpass-filter

— Bjorn Roche
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Se você descrever seu aplicativo com mais detalhes, seria útil. Não vejo nenhum benefício real para filtros complementares nesse sentido. No entanto, se você estiver disposto a filtrar seus sinais novamente antes de adicioná-los e recuperar o original, é uma história muito diferente envolvendo wavelets. Portanto, se eu puder obter mais informações sobre o que você está tentando fazer, posso ajudá-lo.

— 22412 Phonon

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A resposta de Juancho está certa, no entanto, há um problema: o filtro complementar de passa-baixo geralmente NÃO é um filtro de passa-alto, pelo menos não no sentido que você está procurando. Por exemplo, o elogio de um passe passa Butterworth de 4ª ordem não parece um filtro passa-alto de 4ª ordem. Tem cerca de metade da inclinação, atinge um ganho máximo de ca. +6 dB abaixo da frequência de cruzamento e que lentamente se aproxima do ganho de unidade acima da frequência de cruzamento.

Os únicos filtros passa alta e baixa correspondentes que somam a unidade são os filtros de primeira ordem. No entanto, é possível encontrar filtros de ordem superior correspondentes que somam ao ganho de unidade, para que a função de transferência geral da soma seja um filtro de passagem total. Estes são filtros Butterworth de ordem ímpar e até mesmo filtros Linkwitz Riley.

— Hilmar
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Ah, interessante! A primeira coisa que tentei quando estava analisando isso foi o butterworth de terceira ordem, porque pensei que me lembrava de o butterworth de ordem estranha ter essas propriedades (e outras propriedades que desejo), mas não funcionou. Eu devo ter cometido um erro. Vou tentar de novo, obrigado!

— Bjorn Roche

Os BWs de ordem estranha estão 90 graus fora de fase, portanto você pode adicioná-los ou subtraí-los para obter uma resposta geral plana. No entanto, a soma e a diferença têm um atraso de grupo significativamente diferente, portanto, há uma "melhor" opção única.

— Hilmar

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$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$ $h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

$H_1(z)$ $\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$ $H_2(z)$ $\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

$H_2$ $(a_0-b_0)$ $(a_1 - b_1)$

Os coeficientes recursivos são os mesmos para os dois filtros.

— Juancho
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Uma ótima resposta é aquela que parece óbvia em retrospecto! Obrigado!

— Bjorn Roche