A ICA é apropriada para separar sinais mistos quando todos os sinais de fonte NÃO são detectáveis ​​em todos os sensores?

Uma implementação genérica de ICA para a separação de uma mistura de sinais em seus componentes constituintes M requer que os sinais sejam assumidos como uma mistura instantânea linear das fontes. Todas as descrições de ICA que encontrei parecem ter como certo o fato de que todas as fontes M estão presentes, em certa medida, em todas as misturas de sinais $N$$M$$M$$N$

Minha pergunta é: e se as fontes estiverem presentes apenas em algumas, mas não em todas as misturas de sinal? $M$

Esse cenário viola as premissas fundamentais necessárias para que a ACI possa separar esses sinais? (Suponha, por uma questão de argumento, que estamos lidando com um sistema completo ou incompleto ( ou N = M ), e que cada um dos sinais da fonte M é de fato estatisticamente independente um do outro).$N>M$$N=M$$M$

A implementação para a qual estou pensando em usar a ACI, na qual essa situação ocorre, é a seguinte: Tenho dados de 4 tipos diferentes de sensores, cada um com um número diferente de canais. Especificamente, tenho 24 canais de dados EEG, 3 canais de dados eletrooculográficos (EOG), 4 canais de dados EMG e 1 canal de dados de ECG. Todos os dados são gravados simultaneamente.

Gostaria de identificar as contribuições dos sinais de ECG, EMG e EOG nos dados do EEG para que eu possa removê-los. A expectativa é que os sinais EMG + ECG + EOG sejam captados pelos sensores EEG, mas não vice-versa. Além disso, o EOG e o EMG provavelmente se contaminam e são contaminados pelo ECG, mas o ECG provavelmente será bastante isolado de todos os outros sinais. Além disso, estou assumindo que, onde a mistura ocorre, é linear e instantânea.

Minha intuição me diz que, hipoteticamente, a ICA deve ser inteligente o suficiente para retornar filtros de mistura com coeficientes muito pequenos (próximos a 0) para explicar a falta de contribuição de fontes para um sinal misto. Mas estou preocupado que algo da maneira como a ICA desmonte os sinais imponha inerentemente a expectativa de que todas as fontes estejam presentes em todas as misturas. A implementação que estou usando é o FastICA, que é uma abordagem baseada em busca de projeção.

Você deve ficar bem, zeros na matriz de mistura não são um problema ... e teoricamente deve convergir ainda mais rápido do que se todas as fontes existissem em todos os sensores.

"Minha pergunta é: e se as fontes M estiverem presentes apenas em algumas, mas não em todas as misturas de sinal?"

É o mesmo que dizer que na sua matriz de mistura você terá alguns zeros. Quando M = N, acho que não importa se você apenas garantir que a matriz de mistura não seja singular. Não tenho 100% de certeza. Mas você pode fazer um experimento simples de brinquedo 3 por 3 com um ou mais zeros na matriz de mistura para obter algumas experiências práticas. Se você ler o FastICA, aposto que encontrará nos requisitos colocados na matriz de mistura que ele deve ser não singular.

Sua intuição está bem.

$x$$s$$x$$s$$\tilde{s}$

$$x=c_ss+\tilde{s}$$ $c_s$$s$$x$ .

$$x_s = w_xx+w_ss = w_x(c_ss+\tilde{s})+w_ss = w_x\tilde{s}+ks$$ $k=(w_xc_s+w_s)$$s$$x$$c_s$$\left[\begin{array}{c} x\\ x_s \end{array}\right]$

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & c_s\\ w_x & k \end{array}\right], \; S = \left[\begin{array}{c} \tilde{s} \\ s \end{array}\right]$$

$c_p$