Número de coeficientes de Daubechies

Eu estou pensando sobre a correlação entre o tamanho da entrada e o número de coeficientes fornecidos por uma transformada de wavelet discreta.

Estou usando wavelets de Daubechies para descrever uma função 1D e estou usando PyWavelets para implementá-la (que é análoga à caixa de ferramentas MATLAB).

Comecei implementando-o usando wavelets Haar, que deram os resultados corretos e entendo exatamente como ele funciona. Digamos que minha função de entrada tenha 16 pontos de dados, se eu usar o Haar, o que recebo de uma decomposição multinível ( wavedec) é algo como isto (o número de mudanças entre parênteses):

V1[1], W1[1], W2[2], W3[4], W4[8]

Está tudo bem e bom. O V1 me fornece a função de escala e as wavelets W1-W5 de diferentes escalas e dilatações. Meu problema é quando uso os próximos Daubechies (mencionados 'db2'na caixa de ferramentas, chamada D4 ), e recebo

V1[6], W1[6], W2[9]

Eu perco toda a minha intuição. Eu não tenho ideia de onde vêm 6, 6 e 9, e eles mudam dependendo do nível especificado (nem tenho certeza do que significa especificar um nível) e, claro, do tamanho da entrada. Como posso prever o número de coeficientes e quais são alguns bons recursos para entender melhor o porquê?

Obrigado!

EDIT: Esclarecimento sobre V e W:

$V_n$ geralmente denota o período de uma determinada função de escala, $\phi$, ie $\{\phi_{n,k}\}$, Onde $k$ é a mudança e $n$ a escala. $W_n$ é o mesmo, exceto para a função wavelet, $\psi$. Eu poderia ter abusado um pouco da notação ao me referir aos vetores de coeficientes de V e W.

EDIT2: Código

Aqui está o código MATLAB para produzir o acima:

>> [C, L] = wavedec(1:16, 4, 'db1'); L
L = 
     1     1     2     4     8    16
>> [C, L] = wavedec(1:16, 2, 'db2'); L
L =
     6     6     9    16

Na verdade, eu usei o PyWavelets, que fica assim:

>>> import pywt
>>> map(len, pywt.wavedec(range(16), 'db1')) # defaults to level = 4
[1, 1, 2, 4, 8]
>>> map(len, pywt.wavedec(range(16), 'db2')) # defaults to level = 2
[6, 6, 9]

De acordo com MATLAB documentação on wavedec,

O comprimento de cada filtro é igual a $2N$. Se n = length(s)os sinais$F$ e $G$ são de comprimento $n + 2N −1$ e os coeficientes $cA_1$ e $cD_1$ são de comprimento

$$\text{floor}\left( \frac{n-1}{2} \right) + N$$

Aqui, $n=16$ é a duração do seu sinal e $N=2$ é o número de Daubechies.

Juntando tudo isso, seus coeficientes de detalhes no segundo nível devem ser longos

$$\text{floor}\left( \frac{16-1}{2} \right) + 2 = 7+2 = 9.$$

No segundo nível, seus coeficientes devem ter comprimento

$$\text{floor}\left( \frac{9-1}{2} \right) + 2 = 4+2 = 6.$$

Se você está se perguntando por que esse deve ser o caso, imagine o procedimento de filtragem e dizimação. Função de escala e wavelet para$\text{db}m$ wavelets são de comprimento $2m$. Quando você envolve comprimento$n$ sinal com comprimento $2m$ sinal, você recebe um sinal de comprimento $l_0=n+2m-1$. Se você coletar cada segunda amostra desse sinal resultante, receberá algo de comprimento$l_1 = \frac{n+2m-1}{2} = \frac{l_0}{2}$. Claro se$l_0$ é estranho ($n$é par), então não podemos dividir o sinal exatamente em duas partes . Com a matemática inteligente que não abordarei aqui, você pode mostrar que esse último coeficiente não emparelhado é redundante de qualquer maneira (carrega nenhuma informação que ainda não sabemos), então você pode simplesmente omiti-lo. Portanto, sempre teremos o sinal dizimado resultante do comprimento

$$l_1 = \text{floor}\left( \frac{l_0}{2} \right) = \text{floor}\left( \frac{n+2N-1}{2} \right) = \text{floor}\left( \frac{n-1}{2} \right)+N.$$