É um sinal periódico?

É um sinal periódico? $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$

A resposta fornecida pelo livro é diferente da minha resposta. O livro diz que não é um sinal periódico. Vocês podem me dizer por que não é um sinal periódico?

Minha resposta:

$\cos(t)$ é periódico como $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ também é periódico como $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

Portanto, é um número racional $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$

Portanto, o fornecido é um sinal periódico. $x(t)$

periodic

— Pranav Peethambaran
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Que livro diz isso?

— Matt L.

Pranav: Bem-vindo ao DSP.SE! Você fez uma pergunta de lição de casa / auto-estudo exatamente da maneira certa: fez a pergunta, deixou claro que é uma pergunta do livro que você está tentando responder e mostrou o que acha que é a resposta (ou é mostrada tanto quanto você entende). Bem feito!

— Peter K.

Erros tipográficos, para não mencionar erros graves, não são desconhecidos no Manual de Soluções ou nas "respostas para problemas com números ímpares" incluídos nos livros didáticos porque, embora um professor possa ter escrito o texto e revisado com cuidado, o Manual de Soluções e as respostas aos exercícios são elaboradas por assistentes de estudantes de pós-graduação atormentados e não tão cuidadosamente verificadas pelo professor. Isso não quer dizer que o professor seja absolvido da responsabilidade pelos erros, mas apenas uma explicação de por que a "resposta do livro" não deve ser considerada a verdade do evangelho em todos os casos.

— usar o seguinte

Obrigado amigos por esclarecer minha dúvida. Vocês são os melhores! Muito obrigado :) Era do livro do instituto de treinamento, um dos problemas da prática. :)

— Pranav Peethambaran

O SE.DSP deseja a você um feliz ano novo de 2017, com um tipo de lembrete de que sua pergunta ou suas respostas podem exigir alguma ação (atualização, votos, aceitação etc.) #

— Laurent Duval

Respostas:

Como para cada e você responde estão corretos: é periódico. $t_0\in\mathbb{R}$ $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$

x (t)

$x(t)$

— Deve
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Para adicionar uma resposta contrária: Se o seu índice de tempo, , for um número inteiro, seu sinal não será periódico. $t$

A definição de periódico é: , é periódica com o período iff $x[t]$ $t\in\mathbb{Z}$ $P\in \mathbb{Z}$

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Portanto, precisamos de portanto, para periodicidade, precisamos de com .

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$

P = 2 π k

$P = 2\pi k$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

Como é irracional, não pode ser esse o caso. $\pi$

Portanto, o primeiro componente do seu sinal não pode ser periódico, portanto todo o sinal não pode ser periódico.

— Peter K.
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Não há necessidade de P ser inteiro, então cos (t) = cos (t + P). Para qualquer t cos (t) = cos (t + 2π), porque cos (t + 2π) = sin (t) * sin (2π) + cos (t) * cos (2π) = sin (t) * 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg

Agradável! mas se o livro está seguindo a convenção de que indica um sinal de tempo contínuo e indica um sinal de tempo discreto, com assumindo apenas valores inteiros, ele não se aplica ...

x (t)

$x(t)$

x [t]

$x[t]$

t

$t$

— Dilip Sarwate

@ Stoleg: Não, deve ser um número inteiro neste caso. Como o índice de deve ser um número inteiro para sinais de tempo discretos. Caso contrário, é indefinido.

P

$P$

x

$x$

x [t + P]

$x[t+P]$

— Peter K.

@LaurentDuval: Obrigado! Sim, o sinal de tempo contínuo é definitivamente periódico , para e . E, como você diz, a versão amostrada (versão temporal discreta) não é periódica, mas a versão reconstruída é (desde que tenhamos amostrado com rapidez suficiente ... embora talvez uma versão reconstruída com alias + também possa ser periódica ... hmmm. )

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$

t \in R

$t\in\mathbb{R}$

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

As fórmulas de ângulo duplo para identidades trigonométricas dizem que . $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$

Você tem . Portanto, seu sinal é composto de funções (como soma e multiplicação) que admitem como um período (sim, a função constante é periódica). $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ $4\pi$ $x\to 1$ $4\pi$

Assim, sua função parece muito periódica.

— Laurent Duval
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