Amostragem de uma função contínua: o delta de Kronecker ou Dirac?

Eu tenho lido alguns artigos em processamento de sinais e estou muito confuso sobre o assunto no título da minha pergunta. Considere-se uma função contínua de tempo , , que amostra a vezes irregulares , onde . Para mim, faz sentido que a função amostrada seja: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ onde éodeltade Kronecker(igual a quando , zero em outro lugar). Entretanto,neste artigo, o autor define o sinal amostrado como:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

onde

é a função delta de Dirac e eu realmente não entendo por que o

aparece aqui (o autor afirma que a função de amostragem é na verdade uma soma ponderada das funções delta

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

e aqui ele escolhe

. Eu realmente não entendi o porquê). Esta última afirmação não faz muito sentido para mim: o sinal amostrado teria amplitude infinita em

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
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Modelar o processo de amostragem via multiplicação de um sinal de tempo contínuo por um trem de impulsos de Dirac é a interpretação mais comum em minha experiência. Se você se aprofundar o suficiente, encontrará algumas divergências sobre a precisão matemática dessa abordagem *, mas eu não me preocuparia; é apenas um modelo conveniente para o processo. Não há geradores de impulso dentro do ADC do seu telefone celular, gerando raios periódicos que multiplicam suas entradas analógicas.

Como você observou, não é possível calcular a transformação Fourier em tempo contínuo da função delta Kronecker, pois seu domínio não é contínuo (está limitado aos números inteiros). A função delta Dirac, ao contrário, possui uma simples transformada de Fourier, e é fácil mostrar o efeito de multiplicar um sinal por um trem de impulsos de Dirac devido à sua propriedade de peneirar.

*: Por exemplo, se você for matematicamente preciso, diria que o delta do Dirac não é uma função, mas uma distribuição . Mas no nível da engenharia, essas questões são realmente apenas semânticas.

Edit: Vou abordar o comentário abaixo. Você forneceu seu modelo mental do processo de amostragem como:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

o que não está correto. Em vez disso, o modelo para o sinal amostrado é:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

O que é muito semelhante ao anterior, exceto a generalização de um trem de impulso infinitamente longo ao longo do eixo do tempo e a suposição de que os dados são amostrados uniformemente em instantes de tempo $t_k = kT$ . A transformada de Fourier do sinal resultante é:

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

If we define the discrete, sampled version of the signal $f(t)$ to be $x[n] = f(nT)$ , then you are left with:

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

which is exactly the definition of the discrete-time Fourier transform.

— Jason R
fonte

How would you address the fact that the amplitude is "infinite"? What I have usually thought is that you actually don't "sample" the signal at a discrete time

t_{k}

$t_k$ , but rather you integrate the signal for a given time

Δ t_{k}

$\Delta t_k$ . However, this interpretation would violate any form of calculating the Fourier Transform by the same reason as the Kronecker delta. Also...why does the author of the paper in the link I give divides the Dirac comb by

N

$N$ ? That doesn't make any sense to me.

— Néstor

In practice, you're right. There is always some effective "integration time" of the analog signal owing to the finite bandwidth of any ADC's analog front end. However, the theoretical construct isn't limited by such concerns. Roughly speaking, the "infinite height" of the impulse is balanced by its "zero width", such that it integrates to unity. If you apply your short-time integration interpretation in this case (multiplying by an impulse, integrating for an infinitestimally-short time period), then by the sifting property, you would get

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$ , as is usually presented.

— Jason R

Yeah, but my concern is not with the interpretation, but rather with taking the fourier transform of it. Suppose I write the sampling process that we are talking about as:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$ how would you take the fourier transform of that? I know the trick when

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$ , but that doesn't make much sense to me (and it's even harder to do the FT!). Even supposing that is the way, I don't get the same window function as in the paper of Roberts et al. that I cited. And I insist...that

1 / N

$1/N$ doesn't make any sense to me.

— Néstor

Ok with your edit and with my error in my comment above. However, I still can't make up my mind about the fact that the impulse has infinite amplitude at

t = t_{k}

$t=t_k$ thanks to Dirac's Delta, i.e.,

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$ , while what we actually observe (and want to model) is

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$

— Néstor