Qual é a diferença entre resposta natural e resposta de entrada zero?

Eu sou novo no DSP e estava passando por respostas diferentes de um sistema sujeito a uma entrada. Meu entendimento da resposta de entrada zero é: é a resposta / saída do sistema quando o sinal de entrada é definido como zero. Em outras palavras, se um sistema é descrito por uma equação de diferença de coeficiente linear constante, a resposta de entrada zero é a solução homogênea.

No entanto, se a transformação da entrada for uma função racional e a função do sistema LTI for e o sistema é inicialmente relaxado , então . Assumindo zeros distintos (somente real) e pólos (somente real) de e então $\mathcal Z$ $X(z)=N(z)/Q(z)$ $H(z)=B(z)/A(z)$ $Y(z)= H(z)X(z) = N(z)B(z)/A(z)Q(z)$ $X(z)$ $H(z)$

Y (z) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{A_{k}}{1 - p_{k} z^{- 1}} + \sum_{k = 1}^{L} \frac{Q_{k}}{1 - q_{k} z^{- 1}}

$Y(z) = \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1-p_kz^{-1}} + \sum_{k=1}^L \frac{Q_k}{1-q_kz^{-1}}$

que dá

y (n) = \sum_{k = 1}^{N} A_{k} (p_{k})^{n} u (n) + \sum_{k = 1}^{L} Q_{k} (q_{k})^{n} u (n)

$y(n) = \sum_{k=1}^N A_k(p_k)^{n}u(n) + \sum_{k=1}^L Q_k(q_k)^{n}u(n)$

onde e são os polos do sistema e o sinal de entrada respectivamente, é a função de passo unitário. Agora, o primeiro termo é referido como a resposta natural do sistema . É muito confuso compreender a diferença entre zero entrada e resposta natural. $p_k$ $q_k$ $H(z)$ $X(z)$ $u(n)$ $H(z)$

Edit: A referência da pergunta é reservar DSP: Principles, Algorithms and Applications de John Proakis e D Manolakis pdf do livro está aqui Página no 203 e 204. Os dois parágrafos após a fórmula 3.6.4 explicam a diferença entre resposta de entrada zero e resposta natural

Obrigado Peter e Matt por suas respostas e comentários.

— rotating_image
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Penso que a auto-regressão (consulte 'C. Sistemas invariantes no tempo') também é usada para o mesmo conceito.

— Valentin Tihomirov 30/03

Respostas:

Primeiro, é importante perceber que muitos autores usam os termos Zero-entrada resposta e resposta natural como sinônimos. Essa convenção é usada no artigo correspondente da wikipedia e, por exemplo, também neste livro . Mesmo Proakis e Manolakis não são totalmente claros sobre isso. No livro que você citou, você pode encontrar a seguinte frase na página 97:

[...] a saída do sistema com entrada zero é chamada de resposta de entrada zero ou resposta natural .

Isso sugere que os dois termos podem ser usados de forma intercambiável. Mais abaixo na página, encontramos a seguinte frase:

Assim, a resposta de entrada zero é uma característica do próprio sistema e também é conhecida como resposta natural ou livre do sistema.

Novamente, isso sugere fortemente que os autores acreditam que os dois termos são equivalentes.

No entanto, nas páginas que você mencionou, elas parecem fazer a diferença entre as duas. E a diferença é a seguinte. A resposta de entrada zero é a resposta causada por condições iniciais diferentes de zero. Depende apenas das propriedades do sistema e dos valores das condições iniciais. A resposta de entrada zero se torna zero se as condições iniciais forem zero.

A resposta natural é a parte da resposta total cuja forma é determinada apenas pelos polos do sistema e que não depende dos polos do sinal de entrada (transformação do). A resposta natural depende do sinal de entrada em termos de constantes, mas sua forma é inteiramente determinada pelos polos do sistema. Diferentemente da resposta de entrada zero, a resposta natural não desaparece para zero condições iniciais.

A resposta total do sistema pode ser escrita como as duas seguintes somas:

resposta de entrada zero + resposta de estado zero
resposta natural + resposta forçada

A resposta no estado zero é a resposta para zero condições iniciais e a resposta forçada é a parte da resposta cuja forma é determinada pela forma do sinal de entrada.

Espero que isso fique claro no exemplo a seguir. Vamos investigar o seguinte sistema:

\begin{matrix} (1) & y [n] + a y [n - 1] = b^{n} u [n], y [- 1] = c \end{matrix}

$y[n]+ay[n-1]=b^nu[n],\qquad y[-1]=c\tag{1}$

onde é a sequência de etapas da unidade. A resposta total pode ser calculada usando as técnicas de transformação : $u[n]$ $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (2) & y [n] = [\frac{1}{a + b} b^{n + 1} + (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1}] u [n] \end{matrix}

$y[n]=\left[\frac{1}{a+b}b^{n+1}+\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}\right]u[n]\tag{2}$

A resposta de entrada zero é a parte da resposta total determinada pela condição inicial e que não depende de : $b$

\begin{matrix} (3) & y_{Z I} [n] = c (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_{ZI}[n]=c(-a)^{n+1}u[n]\tag{3}$

Obviamente, para , ou seja, para a condição inicial zero. $y_{ZI}[n]=0$ $c=y[-1]=0$

A resposta natural é a parte da resposta total cuja forma é determinada pelo polo do sistema:

\begin{matrix} (4) & y_{N} [n] = (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_N[n]=\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}u[n]\tag{4}$

Observe que depende das condições iniciais e do sinal de entrada (através da constante ). $b$

Observe também que é o formato da resposta de estado zero que depende dos polos do sistema e dos polos da transformação do sinal de entrada. Todas as outras respostas mencionadas aqui dependem apenas de um dos dois conjuntos de pólos. As formas da resposta de entrada zero e da resposta natural dependem apenas dos polos do sistema, enquanto a forma da resposta forçada é determinada pelos polos do sinal de entrada. A expressão para $y[n]$ citada em sua pergunta de Proakis e Manolakis, é a resposta de estado zero (porque o sistema está inicialmente inativo), e a primeira soma é a resposta forçada e a segunda soma é a resposta natural. Como a resposta de entrada zero é zero nesse caso, a soma da resposta natural e da resposta forçada (ou seja, a resposta total) é igual à resposta do estado zero

Em termos matemáticos, a resposta natural é a solução homogênea da equação da diferença, em que as constantes são determinadas de modo que a soma da solução particular (a resposta forçada) e a solução homogênea satisfaçam a condição inicial especificada. Claramente, a resposta de entrada zerotambém é uma solução para a equação homogênea, mas a diferença com a resposta natural é que a resposta de entrada zero satisfaz as condições iniciais, porque é combinada com a resposta de estado zero, que assume zero condições iniciais. Por outro lado, a resposta natural por si só não satisfaz as condições iniciais. As condições iniciais são satisfeitas apenas combinando a resposta natural com a solução particular da equação da diferença (a última sendo a resposta forçada ).

Como mencionado acima, podemos escrever a solução total como

y [n] = y_{Z I} [n] + y_{Z S} [n]

$y[n]=y_{ZI}[n]+y_{ZS}[n]$

(resposta de entrada zero mais resposta de estado zero)

e como

y [n] = y_{N} [n] + y_{F} [n]

$y[n]=y_N[n]+y_F[n]$

(resposta natural mais resposta forçada). Para o exemplo dado, temos

y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[-1]=y[-1]$

ou seja, é que cuida da condição inicial. É também por isso que se a condição inicial é zero. deve satisfazer a equação homogênea $y_{ZI}[n]$ $y_{ZI}[n]=0$ $y_{ZI}[n]$

y_{Z I} [n] + a y_{Z I} [n - 1] = 0, y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[n]+ay_{ZI}[n-1]=0,\qquad y_{ZI}[-1]=y[-1]$

Portanto, se , para todos os . A resposta natural também satisfaz a equação homogênea, mas não com a condição inicial . O que é satisfeito é $y[-1]=0$ $y_{ZI}[n]=0$ $n$ $y_N[-1]=y[-1]$ $y_N[-1]+y_F[-1]=y[-1]$ . É por isso que a resposta natural é geralmente diferente de zero, mesmo para zero condições iniciais. E a resposta natural é a solução homogênea que precisamos combinar com a solução específica (resposta forçada) encontrada da maneira padrão. Normalmente, não temos meios diretos para encontrar a solução específica específica que, quando combinada com a solução homogênea especial representada pela resposta de entrada zero, fornecerá a solução completa da equação da diferença. Para isso, precisamos de outra solução homogênea, e essa é a resposta natural.

Novamente, usando o exemplo acima, esperamos esclarecer isso. Para um sinal de força exponencial, a maneira padrão (e mais direta) de obter uma solução específica é escolher uma versão em escala da função de força:

\begin{matrix} (A1) & y_{p} [n] = A b^{n} \end{matrix}

$y_p[n]=Ab^n\tag{A1}$

(por uma questão de simplicidade, deixo de fora a unidade , assumindo que consideramos , a menos que falemos sobre a condição inicial). A constante é determinada encaixando na equação da diferença: $u[n]$ $n\ge 0$ $A$ $(A1)$

A b^{n} + a A b^{n - 1} = b^{n}

$Ab^n+aAb^{n-1}=b^n$

dando . A forma geral da solução homogênea é $A=\frac{b}{a+b}$

\begin{matrix} (A2) & y_{h} [n] = B (- a)^{n} \end{matrix}

$y_h[n]=B(-a)^n\tag{A2}$

Claro que (ou seja, ) é uma solução específica, mas não é essa a que estamos procurando. Precisamos determinar a constante modo que a soma da solução particular e homogênea satisfaça a condição inicial: $y_h[n]=0$ $B=0$ $B$

y [- 1] = y_{p} [- 1] + y_{h} [- 1] = \frac{A}{b} - \frac{B}{a}

$y[-1]=y_p[-1]+y_h[-1]=\frac{A}{b}-\frac{B}{a}$

A partir desta equação, obtemos

B = \frac{a}{a + b} - a y [- 1]

$B=\frac{a}{a+b}-ay[-1]$

o que mostra que a solução homogênea de que precisamos é diferente de zero se . e encontrados dessa maneira são idênticos à resposta forçada e natural, respectivamente, como mostrado em e - implicitamente - em . $y[-1]=0$ $y_p[n]$ $y_h[n]$ $(4)$ $(2)$

— Matt L.
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OK, agora que tive a chance de ler um pouco (não apenas no celular!), É isso que acho que está acontecendo.

Temos uma equação linear de diferença de coeficiente constante:

y [n] + \sum_{k = 1}^{N} α_{k} y [n - k] = \sum_{m = 0}^{M} β_{m} x [n - m]

$y[n] + \sum_{k=1}^N \alpha_k y[n-k] = \sum_{m=0}^M \beta_m x[n-m]$

e desejamos encontrar para um dado . $y$ $x$

Em geral, a solução irá compreender dois componentes: onde é a solução particular e é a solução homogénea. $Y$

y = y_{p} + y_{h}

$y = y_p + y_h$

y_{p}

$y_p$

y_{h}

$y_h$

A solução específica é obtida configurando a entrada do sistema em . A solução homogênea é obtida definindo a entrada do sistema como 0 (zero) e selecionando uma condição inicial arbitrária para o estado do sistema . $x$

O que Proakis e Manolakis assumem é que o estado inicial do sistema é todo zero (logo acima da equação 3.6.2, e como você destacou na sua pergunta).

Portanto, essa é a diferença entre a solução de entrada zero (e estado zero) e a solução de entrada zero (e estado arbitrário ou homogêneo): quais são as condições iniciais selecionadas? A solução homogênea requer condições iniciais arbitrárias, caso contrário, toda solução homogênea seria . $y_h = 0$

— Peter K.
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Se sua última frase pretende sugerir que a solução de um LCCDE é completamente caracterizada por sua solução específica , se as condições iniciais forem zero (porque então, você diz ), então eu diria que está errado. Eu acho que você se refere ao fato de que uma equação de diferença homogênea precisa de uma condição inicial diferente de zero para "começar", mas isso é uma coisa diferente. Em geral, a solução é com , mesmo que as condições iniciais sejam zero.

y_{h} = 0

$y_h=0$

y_{p} + y_{h}

$y_p+y_h$

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$

— Matt L.

@MattL. Você pode me dar um exemplo em que as condições iniciais e a função forçante são zero e para as quais NÃO é uma solução válida? Entendo seu argumento, não consigo pensar em como encontrar uma solução homogênea não trivial sem assumir condições iniciais arbitrárias - que obviamente incluem zero.

y_{h} = 0

$y_h = 0$

— Peter K.

Se você tem uma equação de diferença homogênea com zero condições iniciais (e com ), então você está certo. Mas o que quero dizer é o seguinte: se você deseja uma solução para uma equação de diferença com função forçante e a decompõe como , não é correto dizer que se as condições iniciais forem zero. Veja o exemplo da minha resposta. A solução homogênea é dada pela Eq. (4) e não é zero, mesmo que . O motivo é que a condição inicial é satisfeita por combinado com , mesmo que essas condições sejam zero. Então , mesmo que

y_{p} = 0

$y_p=0$

y = y_{p} + y_{h}

$y=y_p+y_h$

y_{h} = 0

$y_h=0$

y [- 1] = c = 0

$y[-1]=c=0$

y_{h}

$y_h$

y_{p}

$y_p$

y_{h} [- 1] \neq 0

$y_h[-1]\neq 0$

y [- 1] = 0

$y[-1]=0$

— Matt L.

@MattL. Meu argumento é que tem uma "solução homogênea" perfeitamente válida se você assumir zero condições iniciais. Você deve assumir condições iniciais diferentes de zero para encontrar o que escreveu (a verdadeira solução homogênea).

y [n] + a y [n - 1] = 0

$y[n] + ay[n-1] = 0$

y_{h} [n] = 0, \forall n

$y_h[n] = 0, \forall n$

— Peter K.

Claro que concordo com o seu exemplo; esse tipo de exemplo é o que me referi na primeira frase do meu comentário anterior (o caso em que ). Mas você também tem uma solução homogênea se a função forçante não for zero. Nesses casos, , mesmo para zero condições iniciais. E pensei que a última frase da sua resposta afirma o contrário, pelo menos é assim que eu a entendo. Então, em suma, você geralmente tem mesmo com zero condições iniciais (se ).

y_{p} = 0

$y_p=0$

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$

y_{p} \neq 0

$y_p\neq 0$

— Matt L.

Sem usar equações.
Você olha para um circuito que envolve R e C (como um exemplo simples). Existe uma FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA aplicada. Existe uma TENSÃO INICIAL aplicada ao capacitor.

Você vai resolver uma corrente ou tensão usando 2 DESENHOS. E acompanhe os dois valores computados para fazer a resposta final.

[1º desenho] Você desenha o circuito (não incluindo a FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA), mas usando as CONDIÇÕES INICIAIS, e pergunta: como a tensão no capacitor escapa e se dissipa no circuito? Essa é a resposta NATURAL do circuito. Você está escrevendo a equação V DISCHARGE e encontrando a constante de tempo DISCHARGE. Essa é a RESPOSTA NATURAL do circuito (a ENTRADA ZERO: significando NÃO FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA APLICADA, mas SIM condições iniciais). Salve esse valor de corrente ou tensão da "parte 1".

[2º desenho] Agora você deseja calcular a RESPOSTA FORÇADA. NÃO INCLUEM AS CONDIÇÕES INICIAIS. Basta desenhar a FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA e os componentes do circuito e "ENCONTRAR A RESPOSTA". Salve esse valor de corrente ou tensão da "parte 2"; este resultado (ignorando CONDIÇÕES INICIAIS) é a RESPOSTA FORÇADA.

A RESPOSTA FINAL é: qual é a soma da corrente que você calculou a partir da RESPOSTA NATURAL e a corrente que você calculou a partir da RESPOSTA FORÇADA. - ou - qual é a soma da tensão que você calculou da RESPOSTA NATURAL e a tensão que você calculou da RESPOSTA FORÇADA. Obrigado. Cesar, 25 de fevereiro de 2020, na área General Bravo.

— Cesar
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