Qual o significado de um zero / pólo complexo?

Estou estudando o processamento e controle de sinais há um tempo e uso as transformadas de Laplace e Fourier quase todos os dias. Também outras ferramentas, como plotagens Nyquist ou Bode.

No entanto, eu nunca havia pensado nisso até hoje: qual é o significado físico de um número complexo ao lidar com frequências?

Isso pode parecer bobagem, mas me fizeram essa pergunta e não sabia o que responder. Por que falamos sobre$j\omega$ e não apenas $\omega$em, por exemplo, transformadas de Fourier e gráficos de Bode ou Nyquist? Qual é o sentido físico da parte real e imaginária de um zero ou um polo no domínio de Laplace?

Costumamos falar de $j\omega$ quando também estamos interessados ​​na transformação de Laplace de um sinal / sistema, mas queremos apenas falar sobre a resposta em frequência.

O significado físico da parte imaginária é que se refere a sinais puramente sinusoidais e é constante "amplitude". A parte real refere-se a sinais para os quais a "amplitude" decai ou cresce exponencialmente.

Acho que comecei a entender a relação entre zeros / pólos e a resposta em frequência . A ideia é que você ajuste a frequência$w$ de suas funções básicas no domínio da frequência $e^{jwn}$ e velocidade de sua deterioração para coincidir com o $z_{zero/pole}$. Quero dizer que zero / polo pode ser um número complexo com amplitude fora do círculo único e ajustando a frequência em que você move seu número complexo$e^{-jw}$ vetor ao longo do círculo único no plano complexo, mas não há frequência que possa torná-lo igual a $z=2$ ou $z=j/3$, por exemplo. Portanto, suas funções básicas devem parecer$e^{(k-jw)n}$para atingir qualquer pólo / zero no plano complexo. É interessante porque ouvi dizer que a base de Fourier$e^{-jw}$ pode representar qualquer single, mas parece insuficiente e precisamos da base de Laplace $e^{(k-jw)n}$ no design do filtro.

Agora, puramente real $z$significa que o "expoente complexo" que corresponde a ele não possui componente imaginário. Deve decair sem oscilações, como$e^{kn}$, para responder ao zero / pólo. Pegue a pole em$z=1$, por exemplo. Você tem um sistema$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$ de modo a $Y(z) = X(z)/(1-z).$ O pólo $z = e^{-jw} =1$ corresponde à frequência $w=0$. De fato, com$x_n=1$, temos $y_n = y_{n-1} + 1$que cresce sem limites. Tornando-o oscilante, ou seja,$w \neq 1$, interromperá o crescimento, pois acumulará primeiro, quando $x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$e reduza a acumulação para zero, durante a segunda metade do período senoidal. Isso sugere que os pólos imaginários fornecerão respostas infinitas para funções oscilantes (componentes do sinal de entrada).

Quando você tem um sistema $y_n=ay_{n-1}$, você pode facilmente obter a função de pólo aplicando um impulso delta na entrada. A resposta observada é o polo. Quero dizer que a resposta é um expoente em decomposição$y_n = e^{k-jw}n=a^n$. Todo relógio é$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$vezes o valor anterior. Observe que ele (o polo, também conhecido como coeficiente de feedback e, portanto, a função de resposta) é complexo em geral, o que significa que sua resposta irá oscilar. Quando você multiplica um número complexo por outro, seu número é escalado em comprimento e mudado de fase. A parte complexa é responsável pela mudança de fase (as oscilações).

Lembro-me da teoria do sistema que as oscilações realmente representam o sistema de segunda ordem. Provavelmente, isso responderá à minha pergunta sobre a célula de comutação . A idéia é que, quando você tem o primeiro nível, controla o incremento do outro e o outro controla o incremento do primeiro, como o indutor elétrico e o capacitor no oscilador harmônico,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

é um sistema de segunda ordem porque pode ser expandido para $\ddot{u} = \dot{i} = -u$, a famosa equação do oscilador de mola: position controla negativamente a aceleração. Portanto, duas variáveis ​​de estado puramente real (aka acumuladores) oscilam. Vejo que o plano complexo também consiste em dois eixos, as mesmas duas variáveis. Quando toda a energia está concentrada no primeiro acumulador, você tem 1 + 0j de estado, quando na metade do caminho de volta, você tem o oposto, estado = 0 + 1j, e o segundo acumulador empurra a energia para trás, estado3 = -1 + 0j, que é pongado para o primeiro no estado4 = 0-j e o processo se repete. São quatro quartos de viagens ao longo de um círculo unitário no plano complexo e imitando as oscilações harmônicas. Então, provavelmente, você será capaz de dividir$1/(1-(a+jb)z)$ para dentro $1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$ com real $r_0$ e $r_1$.

Aguarde, você não pode tornar essa decomposição única $z$ para dentro $z^2$e lembro que pólos complexos sempre vêm em pares conjugados. Ou seja, se você tem o pólo (a + jb), também possui (a-jb). Pelo que entendi, isso ajuda a tornar a saída puramente real, dada a entrada real, pois o feedback (a + jb) significa que o sistema evolui conforme$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$, a fase gira em uma direção, enquanto

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ gira a fase na outra direção e sua soma é $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$é puramente real. o$x_{n+1}=-x_{n-1}$ sistema acima tem solução $X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$. Provavelmente você já entende isso. Acabei de expandir sua pergunta.

A função de transferência $1/(1+z^2)$ significa a sequência $\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$. Deve haver uma "variável oculta" (sim, é interessante se a complexidade dos pólos é idêntica à necessidade de números imaginários que precisamos no QM. A posição e o momento são conjugados complexos, uma espécie de rotação de 90 ° entre si e conhecendo uma, você pode calcular a outra) variável oculta para ter em mente se estamos passando para 1 ou -1 após o estado 0. O conjugado complexo é um tipo de acumulador ortogonal complementar, mas variável real, como a corrente do indutor para a voltagem do capacitor, que mantém o controle disso. Entro na pergunta para alguém esclarecer por que precisamos de dois desses complementos para ter uma oscilação de tensão puramente real e o que significa uma oscilação complexa única.

Eu vejo desta maneira (para o oscilador LC acima)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Ou seja, o que você vê na tensão imaginária é uma corrente real em um quadro de referência paralelo, ou seja, do ponto de vista do indutor. Como, como eu disse para você, o estado LTI evolui multiplicando o estado atual por autovalor, devemos oscilar entre 1 e -1 sobre o círculo unitário, o que implica j estados intermediários. Mas, o que você vê como energia conservada no espaço imaginário, passa a ser apenas mais um acumulador. O acumulado conjugado é apenas mais um acumulador. Por alguma razão, é do tipo conjugado, como tentei explicar na célula de comutação .

Eu pareço desviar novamente. Como a oscilação harmônica é uma superposição de duas evoluções, feitas por dois polos complexos$j$ e $-j$, devemos ter duas colunas por cada variável conjugada. Aqui está a parte que falta

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

A tensão no capacitor é um valor real, que é uma média de duas colunas de capacitor, $(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$. Os processos to rotações opostas cancelam os componentes imaginários. De fato, a corrente flui em uma direção, mas$\ddot(x)=-x$admite qualquer direção e a abstrai, exceto a média. Portanto, o pólo por si só representa um processo concreto, o fluxo de corrente em uma direção ou outra. E, se você perguntar qual é o polo complexo, a resposta é que é o fator pelo qual o vetor [corrente, tensão] é escalado a cada relógio se estivermos no domínio discreto (ou [di / dt, dv / dt] se estão no domínio contínuo) onde fator real representa sua amplitude, parte real$cos w$ do fator complexo $e^{jw}$ significa evolução da tensão e parte imaginária $sin w$significa evolução atual. A corrente é imaginária porque você olha do ponto de vista da tensão,$\ddot{v}=-v$. Por outro lado, a tensão seria imaginária e a corrente real a partir do quadro de referência atual,$\ddot{i}=-i$. Felizmente, isso está correto e qualquer um pode explicar melhor.

As transformadas de Laplace podem ser usadas para prever o comportamento de um circuito. A transformação Laplace assume uma função no domínio do tempo$f(t)$e o transforma na função $F(s)$ no $s$-domínio. Você pode ver as transformações de Laplace$F(s)$ como proporções de polinômios no $s$-domínio. Se você encontrar as raízes reais e complexas (polos) desses polinômios, poderá ter uma idéia geral do que a forma de onda$f(t)$ vai parecer.

Por exemplo, conforme mostrado nesta tabela, se as raízes são reais, a forma de onda é exponencial. Se são imaginários, é uma combinação de senos e cossenos. E se eles são complexos, então é um sinusóide amortecedor.

Tudo isso vem da fórmula de Euler e da definição da série de Fourier, que é uma maneira de representar uma função (semelhante a uma onda) como a soma de simples ondas senoidais.

Uma resposta é muito simples: informação.

Um sinal AC simplesmente não pode ser quantificado com um único número. Soma dois sinais de 100Hz 1V e você pode obter algo entre 0 e 2, dependendo da fase. Números complexos resolvem esse problema carregando duas informações o tempo todo.

Pólos e zeros são semelhantes - a frequência deles não diz tudo. Dois filtros RC criam dois pólos. Um filtro LC cria dois pólos. Mas eles não são iguais. Números complexos são capazes de transportar as informações que descrevem a diferença.

Teoria teórica. Por favor, tente criar uma raiz quadrada de frequências negativas e isso o levará a um lugar estranho.

Cerca de 300 anos atrás, era necessário introduzir uma variável chamada $j$

No entanto, a transformada de Laplace transforma o sinal no domínio do tempo em $s$-domínio onde

$$s=\sigma+j\omega$$

onde transformada de Fourier, no domínio da frequência $j\omega$