Abs (pólos) <1 em que margem para um filtro estável?

Verifiquei a literatura quanto a algoritmos recentes usados para projetar um filtro digital que é uma aproximação minimax de uma resposta de frequência desejada. Todos os artigos que encontrei elaboram exemplos em que todos os pólos têm magnitude menor que 0,92, ou menor que 0,89 etc. Não vi um exemplo publicado com um pólo com magnitude 0,95 e certamente não 0,9995. Se um filtro é implementado com aritmética dupla de máquina de precisão, a que distância do círculo unitário um pólo pode chegar para obter um filtro útil? Seria uma má idéia ter um poste com magnitude 0,95?

filter-design

— Ted Ersek
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Provavelmente dependeria da ordem do filtro, mas ter um poste na posição onde não deve representar um problema de estabilidade se você estiver usando aritmética de ponto flutuante de precisão dupla com um filtro de comprimento razoável. $z_p$ $|z_p| = 0.95$

Como não sei nada sobre sua aplicação específica, outro efeito da magnitude do polo que pode ser relevante é a resposta ao impulso do filtro resultante. Lembre-se de que os polos na função de transferência de um sistema correspondem a termos exponenciais em decomposição na resposta de impulso do sistema. Como observa a Wikipedia:

a^{n} u [n] \Leftrightarrow \frac{1}{1 - a z^{- 1}}

$a^nu[n] \Leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}$

onde é a função de unidade unitária discreta , usada aqui para expressar que a resposta ao impulso é causal ( ). Portanto, se seu filtro tiver um polo em , haverá um termo correspondente na resposta de impulso do filtro. $u[n]$ $0\ \forall\ n < 0$ $z = a$ $a^n$

Para pequenas, esse termo decairá em um número relativamente pequeno de amostras. Como , a quantidade de tempo (medida em amostras) necessária para que a função exponencial decaia aumenta. $|a|$ $|a| \rightarrow 1$
Quando você atinge o ponto "criticamente estável" de , o exponencial nunca decai e a resposta de impulso do sistema não decai para zero. $|a| = 1$
Se (ou seja, o polo fica fora do círculo unitário), então a função exponencial diverge e a resposta ao impulso explode até o infinito; é por isso que um sistema de tempo discreto não é estável na BIBO se contiver pólos fora do círculo unitário. $|a| > 1$

Dado o exposto, a outra preocupação que você pode ter é a duração efetiva geral do tempo de resposta ao impulso do filtro. Embora, como o próprio nome sugere, um filtro IIR teoricamente tenha uma resposta de impulso de tamanho infinito, na prática a resposta geralmente decairá para um nível desprezível após um período de tempo finito. Se o seu aplicativo é sensível a essa característica, faz sentido escolher os locais dos pólos mais distantes do círculo da unidade. Haverá trocas correspondentes nas características do domínio da frequência, pois a colocação de pólos perto do círculo unitário pode ajudar a tornar as regiões de transição mais nítidas e mais estreitas, como muitas vezes é desejável.

— Jason R
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