Por que os filtros digitais funcionam?

Então, comecei a ler nos filtros FIR e IIR e estou impressionado com o quão "simples" a teoria parece, até agora.

• Mas o que me confunde é: por que a filtragem funciona criando uma soma ponderada das amostras anteriores?

• Que intuição faz pensar que isso pode produzir os efeitos de filtragem desejados?

• Parece-me um pouco pouco intuitivo, mesmo que alguém possa verificar se a soma de sinais atrasados ​​em conjunto produz filtragem de pente. Mas filtragem desejável? Por quê?

Considere um sinal de entrada em tempo discreto no formato:

onde a frequência radiana $\omega_0$ é definido entre 0 e $\pi$ radianos por amostra.

Agora, considere dois tipos mais simples de filtros LTI FIR em tempo discreto (digitais) que são definidos por meio de operações aritméticas fundamentais de adição e subtração de suas amostras de entrada e depois produzindo as saídas$y_1[n]$ e $y_2[n]$de acordo com: e

Vamos fazer uma análise qualitativa desses filtros definindo a frequência do sinal de entrada como baixa (próximo a$\omega_0$$0$) e alta (perto de$\pi$) valores e, em seguida, observando as saídas correspondentes $y_1[n]$ e $y_2[n]$ respectivamente;

Primeiro, suponha que $\omega_0$está definido para baixas frequências. Em seguida, as amostras de entrada consecutivas$x[n]$ e $x[n-1]$terá valores altamente semelhantes , pois uma onda senoidal de baixa frequência não mudará muito de uma amostra para outra. Quando esse for o caso, a soma será acrescida , enquanto a diferença será cancelada . Portanto$y_1[n]$ será aproximadamente igual ao valor da entrada $x[n]$, enquanto a saída $y_2[n]$estará próximo de zero devido ao cancelamento. A primeira parte da análise qualitativa conclui que o primeiro filtro,$y_1[n]$, passa os sinais de baixa frequência enquanto o segundo filtro, $y_2[n]$ atenua-os.

Suponha, para a segunda parte da análise, que $\omega_0$está definido para altas frequências; então os valores das amostras de entrada$x[n]$ e $x[n-1]$terá polaridades opostas , pois o cosseno mudará rapidamente de amostra para amostra. Quando esse for o caso, a soma será cancelada , enquanto a diferença será acrescida . Portanto$y_1[n]$ será aproximadamente zero, enquanto a saída $y_2[n]$ será semelhante à sua entrada $x[n]$. A segunda parte da análise conclui que o primeiro filtro,$y_1[n]$, interrompe os sinais de alta frequência enquanto o segundo filtro, $y_2[n]$passa por eles.

Combinando essas duas análises qualitativas, concluímos que o primeiro filtro $y_1[n] = 0.5 (x[n]+x[n-1])$é um passa-baixo do filtro, que passa baixas frequências e atenua altas frequências, enquanto o segundo filtro$y_2[n] = 0.5(x[n]-x[n-1])$é um filtro passa alto de filtro, o que atenua as baixas frequências e altas frequências passa.

Nesse cenário, filtros mais complexos são obtidos com o uso de mais amostras a partir de atrasos posteriores que são ponderados de acordo. As frequências de corte da banda passante e da banda interrompida, a largura de banda de transição e as ondulações são determinadas pelos pesos aplicados nas amostras somadas (ou diferenciais) e pelo número de amostras (comprimento do filtro) usadas nas somas (ou diferenças).

Esses pesos são chamados de coeficientes do filtro (ou sua resposta ao impulso$h[n]$ para o filtro FIR) que caracterizam o filtro.

Você provavelmente já usou muito a filtragem. Uma média móvel é um filtro!

Pense na filtragem geral como executando uma média móvel sofisticada, em que, em vez de calcular a média de cada componente em uma janela igualmente, você pesa os componentes.

Se você apenas quisesse suavizar o sinal, poderia ponderar cada valor usado na média por uma curva gaussiana (sino), por exemplo. Este é um filtro passa-baixo.

Se você quiser isolar uma frequência específica, poderá ponderar cada valor alternativamente positivo e negativo na mesma frequência.

Acho que você está procurando intuição sobre o motivo de obter um determinado comportamento no domínio da frequência ao calcular uma soma ponderada de amostras de entrada. Como você sabe, o sinal de saída de um comprimento causal$N$ O filtro FIR é fornecido por

Onde $h[n]$ são os coeficientes do filtro (derivações) ou, equivalentemente, a resposta de impulso do comprimento finito do filtro, e $x[n]$ é o sinal de entrada.

Agora deixe $x[n]=e^{j\omega_0n}$, ou seja, um exponencial complexo na frequência $\omega_0$. O sinal de saída correspondente é

Onde

é a resposta em frequência do filtro, avaliada em$\omega=\omega_0$. É igual à transformada de Fourier em tempo discreto da resposta ao impulso$h[n]$.

Eq. $(2)$ mostra como um componente de frequência de entrada na frequência $\omega_0$aparece na saída. Sua amplitude é dimensionada por$|H(\omega_0)|$, e sua fase é alterada por $\arg\{H(\omega_0)\}$. Como exemplo, você pode escolher os coeficientes$h[n]$ de tal modo que $H(\omega_0)=0$ para uma certa frequência $\omega_0$. Nesse caso, o componente de frequência correspondente no sinal de entrada é completamente suprimido pelo filtro. É isso que os filtros de entalhe fazem.

Eq. $(2)$explica o comportamento no domínio da frequência de um filtro de tempo discreto. Você pode aproximar qualquer resposta de frequência desejada$D(\omega)$ de $H(\omega)$ escolhendo os coeficientes $h[n]$de maneira apropriada. Esse é o tópico da teoria da aproximação ou, mais especificamente, do design (domínio da frequência) de filtros digitais. Dê uma olhada nesta resposta para uma breve visão geral do design do filtro digital e para algumas referências.

Às respostas úteis que foram adicionadas até agora, gostaria de acrescentar, no ponto da intuição, que a filtragem funciona porque é baseada na teoria das ondas e, especificamente, na interação das ondas. Isso fornece uma enorme variedade de exemplos intuitivos.

Mas também, que existem basicamente dois pontos de vista. Um é o ponto de vista abstrato, adotado ao modelar a realidade e depois trabalhar com os modelos, e o outro é a realidade "física". Ou seja, o que realmente está acontecendo na natureza.

Por exemplo, na realidade, o som de uma fonte ricocheteia na parede e volta aos ouvidos dos ouvintes. Isso é realidade. A realidade da "modelagem" é dizer que a parede é apenas um detalhe. O que está acontecendo é que existe outra fonte, em um local bem definido, ATRÁS da parede que está reproduzindo o som da fonte. Esse modelo simples permite que as reflexões sejam estudadas como a adição de ondas ... Mas não há nada do outro lado da parede.

$y=a \times cos(\omega t + \phi)$é um oscilador. Se estivesse saindo de um gerador de funções, em cima de um banco, poderíamos dizer que$y$ corresponde ao conector da saída, $a$ é o mostrador de amplitude, $\omega$ é a discagem de freqüência e $\phi$é o seletor de fase. Portanto, cada um de nossos símbolos abstratos tem um significado físico. Podemos tocar com a discagem por frequência e ela se torna imediatamente acessível para nós, se torna parte de nossa experiência.

Podemos brincar com isso $h$aquele Matt. L está falando em sua resposta mais acima? Qual é a correspondência física de$h$? O que realmente está acontecendo na realidade? O que é$h$?

$h$é muitas coisas maravilhosas. Um quarto é um$h$. Uma longa passagem do túnel sob uma ponte é uma$h$. A atmosfera é uma$h$. Um piano é um$h$(geralmente, os ressonadores dos instrumentos). O oceano é um$h$. Um pedaço de arame é um$h$. Um amplificador de guitarra é um$h$.

Imagine-se no que chamamos de espaço livre . Espaço livre é um espaço tão grande que sua voz fica achatada e não ressoa. É uma sensação muito estranha. Para entender o que "flat" realmente significa, você precisa se encontrar em uma loja que vende tecidos (ou uma câmara não ecológica ... a loja de tecidos é mais fácil). Toda a mercadoria absorve tanto o som que você obtém uma sensação de completo isolamento e sem nenhum senso de direção.

De qualquer forma, estamos no espaço livre e temos esse gerador de funções em um alto-falante em algum lugar à nossa frente. Ligue-o. Você ouve o som cristalino de um apito. O alto-falante define o ar em movimento vibratório e, eventualmente, as ondas chegam aos nossos ouvidos.

Agora, trazemos uma folha plana de granito. É uma grande chapa de granito sobre rodas e podemos posicioná-la onde quisermos, posicionamos em algum lugar atrás de nós e observamos que, quando nos movemos em um local específico entre o alto-falante e a chapa de granito, o som diminui em amplitude, até que desaparece completamente. Por que isso está acontecendo? Como os picos das ondas que o alto-falante produz diante de nós combinam-se (perfeitamente) com as cavidades das ondas que são produzidas pelo alto-falante fantasma atrás de nós (ou, na verdade, o fato de que as mesmas ondas do alto-falante se refletem) da folha de granito e recombinar. A propósito, por causa da física desse salto, onde quer que você tenha uma reflexão, a fase do sinal refletido é invertida). Portanto, onde o alto-falante frontal cria alguma pressão, o alto-falante traseiro (o reflexo) cria alguma "sucção" e o ar não se move efetivamente.

O que isso tem a ver com $h$?

Vamos começar com um "vazio" $h$. Não, não são todos os zeros, é assim$h= [1,0,0,0,0,0,0,0]$. O sinal que atinge os ouvidos é$z=y * h$. o$*$aqui denota a convolução de Matt. Resposta de L acima. Com isso$h$, $z$ é idêntico a $y$. Somos nós no espaço livre. Agora, trazemos os detalhes da folha de granito. Como isso muda$h$?

Poderia ser algo como isto $h=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0]$. O que representa um salto depois que a onda direta imediata chega aos nossos ouvidos. Se a distância entre os dois$1$s corresponde a metade do comprimento de onda da frequência do nosso gerador, $z$será zero. Outros comprimentos de onda serão cancelados proporcionalmente.

Então ... Nós podemos esculpir o espectro harmônico de $z$... pela colocação cuidadosa de ecos em $h$...

Agora, esqueça a gravidade. Flutuamos no espaço livre (não no espaço exterior) e trazemos folhas de granito, folhas de madeira compensada, folhas de madeira compensada revestidas em tecido, folhas de tecido muito espesso, gesso, vidro, etc. e podemos posicioná-las da maneira que quisermos . Por causa dos diferentes materiais, o "perfil de eco" que estamos efetivamente esculpindo terá amplitudes diferentes. Então seu$h$ vai acabar sendo algo como $h=[1.0,0,0,0,0,-0.6,0,0.1,-0.05,0,0,0,0,0]$.

Isso realmente acontece na realidade? Sim! Toda vez que você ouve um som em uma bela sala de concertos, alguém fica sentado por horas tentando esculpir o ambiente da sala.$h$para que seus reflexos não causem dor de cabeça às pessoas ou você possa realmente ouvir o que o orador diz . E você pode ver as ferramentas de escultura ao seu redor, existem armadilhas para baixo , difusores , simplesmente painéis pendurados no teto, cortinas, cada uma correspondendo a um ou mais coeficientes em$h$. De fato, o$h$ estava começando a ser esculpida desde que o arquiteto especificou a forma do espaço.

Podemos "obter" o $h$de um quarto? Certamente, vá para a sua sala de estar, encha um balão e deixe-o em algum lugar perto da TV, coloque um microfone em algum lugar perto do sofá e aperte o balão para que ele exploda. O que acontece? Uma perturbação atmosférica acentuada ( um pulso unitário ) viaja pelo espaço, atinge o microfone, mas também ricocheteia nas paredes e objetos e atinge o microfone mais tarde. Aí está, um$h$que quando convolvido com o sinal "plano" da sua TV simularia o que você realmente ouve na sua sala de estar. Agora, repita o mesmo experimento no banheiro (coberto de azulejos, com assinatura diferente) ou em um longo bunker na Escócia .

Quartos diferentes, diferentes $h$, experiência auditiva diferente . Experiência auditiva diferente na passagem subterrânea de calçada longa, experiência auditiva diferente na loja de tecidos.

É uma tempestade. Você vê o parafuso (essa é sua primeira$1$) e, posteriormente, você ouve ruídos (ecos subsequentes do arco elétrico). Essa é a$h$que carrega informações sobre a paisagem e a atmosfera ao nosso redor, à medida que a perturbação atmosférica causada pelo arco relâmpago viaja no espaço e salta. É preciso o estouro de mais de um balão para vê-lo. Você toca a nota de um piano, a onda viaja ao longo da corda, salta do final e volta, também viaja através do corpo de madeira do piano e volta. Material diferente para as cordas e o corpo, diferente$h$piano diferente.

Amarre uma lâmpada a um tijolo , jogue-a ao mar e grave-a em profundidade ( deste site ). Essa é a$h$ do oceano abaixo do barco, ele transmite informações sobre como o som se propaga.

O que todos esses fenômenos têm em comum? Ondas! Ondas mecânicas, de fato, no caso do som e da maneira como elas interagem. E, na verdade, é apenas uma aproximação suficientemente boa. Existem muitos fenômenos não lineares interessantes (ou este ) que ocorrem no mar e no ar e, certamente, em circuitos eletrônicos (realidade, em geral) que se agrupam neste modelo simples de sinusóides interativos e onde essa representação de a realidade iria quebrar .

Finalmente, observe que, na realidade "modelagem", (do ponto de vista matemático), a integral de convolução é uma maneira de resolver equações diferenciais (modelos de sistemas) e também tem outras aplicações (consulte as três últimas nesta lista ) .

Uma maneira intuitiva de procurar um filtro FIR é como uma espécie de função de correspondência em execução. Uma soma ponderada de amostras gera o quanto a entrada se parece com algum valor de "correspondência" inerente aos pesos.

Um filtro passa-banda parece um pedaço de alguma forma de onda na frequência em que você deseja que o filtro passe. Uma boa correspondência de um segmento com a mesma frequência do sinal de entrada gera um valor positivo alto. Mude essa entrada 90 graus e a correspondência é ortogonal, ou quase, para que o filtro produz um valor baixo. Mude mais 90 graus e a forma de onda do sinal agora parece ser aproximadamente o inverso da forma de onda FIR, para que o filtro produz um valor negativo. Essa alternância de positivo para negativo produz uma forma de onda de saída que se assemelha um pouco à forma de onda de entrada se for uma boa correspondência em alguma fase e uma correspondência oposta em outras fases. Outras formas de onda de entrada, como DC, ou uma frequência muito mais alta, não coincidem quase tão bem, então produzem valores de saída mais baixos.

Um filtro FIR de média móvel ou passa-baixo tem muitos pesos iguais ou quase iguais, portanto, será emitido em um nível mais alto quando a entrada não oscilar com valores positivos e negativos em torno de DC, que cancelará, pelo menos parcialmente, quando somados após quase a mesma ponderação.

Enquanto um núcleo de filtro FIR que alterna todo peso, ou quase isso, será cancelado com uma entrada DC, mas melhor corresponderá às entradas de frequência mais alta e, portanto, produzirá mais entradas que se parecerem menos com DC, por exemplo, um filtro passa-alto.

Como a filtragem FIR como processo LTI, o "linear" na LTI significa que você pode somar vários "tipos de correspondência" para criar uma combinação linear de respostas de frequência, o que é mais ou menos por que o FT inverso de uma resposta de frequência produz uma resposta de impulso que pode ser usado para filtragem FIR com aproximadamente a resposta de frequência desejada.

Algumas funções, como seno e cosseno, podem ser aproximadas de perto por uma curta recursão. Um filtro IIR pode ser visto simplesmente como uma combinação de um gerador de função de recursão curta que gera algumas formas de onda "correspondentes" semelhantes a filtros FIR desejadas, além de executar simultaneamente o processo de correspondência acima ao mesmo tempo.