Como construir um deslocador de fase com deslocamento de fase arbitrário

Fred, um engenheiro de DSP, vai à sua loja DSP favorita para fazer compras.

Fred: Oi, eu gostaria de comprar um deslocador de fase.

Assistente de loja: Hmm, o que exatamente você quer dizer?

Fred: Bem, você sabe, se você colocar um sinusóide como obtém na saída, para qualquer . E, é claro, deve ser ajustável.y ( t ) = sin ( ω 0 t - θ ) ω 0$x(t)=\sin(\omega_0t)$$y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$$\omega_0$$\theta$

Assistente de loja: Entendo. Desculpe, não, nós não temos isso. Mas lembro-me de outros caras que precisavam da mesma coisa, e sempre compram um transformador Hilbert, alguns multiplicadores e um somador, e de alguma forma conectam todas essas coisas para fazer uma mudança de fase ajustável.

Fred: Ah sim, certo!

Fred finge entender do que o cara está falando. Claro que ele não tem ideia de como fazer isso. Ele compra tudo o que o cara disse que precisa e pensa sozinho que pode descobrir isso em casa ou, se tudo estiver falhando, ele pode pedir no DSP.SE.

Como pode Fred construir um shifter fase com mudança de fase ajustável usando os componentes que ele recebeu na loja?$\theta$

Boa pergunta! Ele usa uma das minhas identidades trigonométricas favoritas (que também podem ser usadas para mostrar que a modulação em quadratura é realmente amplitude e modulação de fase simultâneas).

A transformação de Hilbert de é . Além disso, (restrito a ), com . Isso sugere uma abordagem possível. Digamos que Fred precise de radianos. Ele calcula . Então, ele precisa encontrar e tal que e , com e , que é um problema de álgebra simples. Defina , ,- cos ( 2 π f 0 t ) sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sen ( 2 π f 0 t ) + b cos ( 2 π f 0 t ) a 2 + b 2 = 1 θ = atan2 ( b $\sin(2\pi f_0t)$$-\cos(2\pi f_0t)$

$$\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$$ $a^2+b^2=1$$\theta=\text{atan2}(b,a)$$\theta=2.1$$\tan(2.1)\approx-1.71$$a$$b$$a^2+b^2=1$$b/a=-1.71$$a<0$$b>0$$a_0=-1$$b_0=1.71$$n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ , , e . Então, Fred pode gerar facilmente um seno com a fase desejada usando um transformador Hilbert, dois multiplicadores, duas fontes de CC (uma configurada para volts e a outra para volts, para cuidar do sinal do cosseno), e um somador.$a=a_0/n$$b=b_0/n$$a$$-b$

A resposta ao impulso do sistema descrito acima é dada por:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Diagrama de bloco:

A resposta do MBaz está correta. Gostaria apenas de acrescentar outra maneira de pensar sobre o assunto, obviamente levando ao mesmo resultado:

Um deslocador de fase ideal com deslocamento de fase tem uma resposta de frequência que pode ser reescrito como O olho treinado identificará como a resposta de frequência de um transformador Hilbert ideal. A resposta de impulso correspondente é . Consequentemente, a resposta de impulso do deslocador de fase ideal é que pode ser implementada como conexão paralela ponderada de um transformador Hilbert e um pedaço de fio com pesos$\theta$

$$H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$$ $$H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)$g(t)=\frac{1}{\pi t}$ sen(θ)cos(θ $$h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$$ $\sin(\theta)$ e , respectivamente.$\cos(\theta)$

Observe que esse sistema pode ser bem aproximado em uma implementação prática (em tempo discreto). Basta pegar um transformador Hilbert de fase linear FIR bem projetado de comprimento e adicionar um atraso de amostras ao outro caminho do sinal.$2N+1$$N$