Por que uma fase linear é importante?

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Se as condições de simetria forem atendidas, os filtros FIR têm uma fase linear. Isso não é verdade para filtros IIR.

No entanto, para quais aplicativos é ruim aplicar filtros que não possuem essa propriedade e qual seria o efeito negativo?

filters filter-design fir

— The Pheromone Kid
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Um filtro de fase linear preservará a forma de onda do sinal ou componente do sinal de entrada (na medida do possível, dado que algumas frequências serão alteradas em amplitude pela ação do filtro).

Isso pode ser importante em vários domínios:

processamento e desmodulação coerentes de sinal , em que a forma de onda é importante porque uma decisão de limiar deve ser tomada na forma de onda (possivelmente no espaço em quadratura e com muitos limites, por exemplo, modulação 128 QAM), para decidir se um sinal recebido representa "1 "ou" 0 ". Portanto, preservar ou recuperar a forma de onda transmitida originalmente é de extrema importância; caso contrário, serão tomadas decisões errôneas de limiar, o que representaria um pequeno erro no sistema de comunicações.
processamento de sinal de radar , em que a forma de onda de um sinal de radar retornado pode conter informações importantes sobre as propriedades do alvo
processamento de áudio , onde alguns acreditam (embora muitos contestem a importância) que "alinhar o tempo" os diferentes componentes de uma forma de onda complexa é importante para reproduzir ou manter qualidades sutis da experiência auditiva (como a "imagem estéreo" e similares)

— AndyW
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(Eu fiz os testes de audição ABX e fui capaz de distinguir entre o crossover simulado de Linkwitz-Riley de 8ª ordem e sem. Os sons impulsivos ficam "alegres", pois as altas frequências chegam um pouco mais cedo que as baixas. Portanto, o # 3 não é totalmente rebuscado.)

— endolith 28/04

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Escusado será dizer que a propriedade de preservação da forma de onda é aplicável apenas a sinais de banda estreita ... Em outras palavras, caso contrário (para sinais gerais de banda larga), o filtro (fase linear ou não) mudará a forma do sinal tanto quanto a resposta ao impulso convirta com o sinal .. .

— Fat32

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Deixe-me adicionar o seguinte gráfico às ótimas respostas já fornecidas.

Quando um filtro tem fase linear , todas as frequências desse sinal atrasam a mesma quantidade de tempo (conforme descrito matematicamente na resposta do Fat32).

Qualquer sinal pode ser decomposto (via Série Fourier) em componentes de frequência separados. Quando o sinal atrasa através de qualquer canal (como um filtro), desde que todos esses componentes de frequência atrasem a mesma quantidade, o mesmo sinal (sinal de interesse, dentro da banda passante do canal) será recriado após o atraso .

Considere uma onda quadrada que, através da expansão da série de Fourier, é mostrada como composta por um número infinito de frequências harmônicas ímpares.

No gráfico acima, mostro o somatório dos três primeiros componentes. Se todos esses componentes tiverem atrasado a mesma quantidade, a forma de onda de interesse permanecerá intacta quando esses componentes forem somados. No entanto, uma distorção significativa do atraso do grupo resultará se cada componente de frequência atrasar uma quantidade diferente no tempo.

O seguinte pode ajudar a fornecer informações intuitivas adicionais para pessoas com algum histórico de RF ou analógico.

Considere uma linha de atraso de banda larga ideal sem perdas (como a aproximada por um comprimento de cabo coaxial), que pode transmitir sinais de banda larga sem distorção.

A função de transferência de tal cabo é mostrada no gráfico abaixo, tendo uma magnitude de 1 para todas as frequências e uma fase aumentando negativamente na proporção linear direta à frequência. Quanto maior o cabo, maior a inclinação da fase, mas em todos os casos "fase linear".

Isso faz sentido; o atraso de fase do sinal de 1 Hz passando através de um cabo com um atraso de 1 segundo será de 360 °, enquanto um sinal de 2 Hz com o mesmo atraso será de 720 °, etc ...

Trazendo isso de volta ao mundo digital, $z^{-1}$ é a transformação z de um atraso de 1 amostra (portanto, uma linha de atraso), com uma resposta de frequência semelhante à que é mostrada, apenas em termos de H (z); uma magnitude constante = 1 e uma fase que passa linearmente de $0$ a $-2\pi$ de f = 0 Hz af = fs (a taxa de amostragem).

A explicação matemática mais simples é que a fase a que é linear com frequência e um atraso constante são pares de transformada de Fourier. Essa é a propriedade shift da Transformada de Fourier. Um atraso de tempo constante no tempo de $\tau$ segundos resulta em uma fase linear na frequência $-\omega \tau$ , onde $\omega$ é o eixo angular da frequência em radianos / s:

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} d u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} d u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Dan Boschen
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Dan, seu gráfico de cara feliz e triste me fez rir alto com a simplicidade da informação! Bem feito!

— Oreo 29/11

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Apenas para acrescentar ao que já foi dito, você pode ver isso intuitivamente, observando o seguinte senoide com frequência crescente monotônica.

Mudar esse sinal para a direita ou esquerda mudará de fase. Mas observe também que a mudança de fase será maior para frequências mais altas e menor para frequências mais baixas. Ou, em outras palavras, a fase aumenta linearmente com a frequência. Assim, uma mudança de tempo constante corresponde a uma mudança de fase linear no domínio da frequência.

— orodbhen
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Melhor resposta imo.

— Felix Crazzolara 28/11

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τ (ω) = - \frac{d ϕ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Então, qual é o efeito de um filtro com fase não linear (ou atraso do grupo dependente da frequência) no sinal de entrada? Um exemplo simples seria um sinal de entrada complicado considerado como uma soma de vários pacotes de ondas em diferentes frequências centrais. Após a filtragem, cada pacote com uma frequência central específica será deslocado (atrasado) de maneira diferente devido ao atraso do grupo dependente da frequência. E isso resultará em uma mudança na ordem do tempo (ou ordem do espaço) desses pacotes de onda, às vezes drasticamente, dependendo de quão não linear é a fase, que é chamada de dispersãona terminologia de comunicações. Não apenas a forma de onda composta, mas também algumas ordens de eventos podem ser perdidas. Esse tipo de canal dispersivo tem efeitos graves, como ISI (inter-símbolo) nos dados transmitidos.

Essa propriedade dos filtros de fase linear, portanto, também é conhecida como propriedade de preservação da forma de onda , que é aplicável aos sinais de banda estreita em particular. Um exemplo em que a forma de onda é importante, além do ISI, como mencionado acima, está no processamento de imagens, onde as informações da fase de transformação de Fourier são de suma importância em comparação com a magnitude da transformação de Fourier, para inteligibilidade da imagem. O mesmo, no entanto, não pode ser dito para a percepção dos sinais sonoros devido a um tipo diferente de sensibilidade do ouvido ao estímulo.

— Fat32
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O que significa fase linear generalizada neste contexto?

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Suponho que isso signifique que a mudança de fase constante também é permitida, como na transformação de Hilbert .

— Olli Niemitalo

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A resposta a esta pergunta já foi explicada claramente nas respostas anteriores. No entanto, gostaria de tentar apresentar uma interpretação matemática do mesmo

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

a r g (H (w)) = K w

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

y (t) = | H (w) | * e^{j w_{0} t + j K w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H (w) | * e^{j w_{0} (t + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Portanto, se a fase for linear, todos os componentes de frequência do sinal sofrerão a mesma quantidade de atraso no domínio do tempo, o que resulta na preservação da forma.

— SakSath
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Vou apenas colocar um resumo para essas ótimas respostas mencionadas acima:

mudar o sinal no domínio do tempo resultará em mudança de fase proporcional à frequência, então f (t + dt) seria F (f) e (j2πfdt)
Quando um filtro com uma resposta de fase de liner, todas as frequências do sinal de entrada para esse filtro serão deslocadas com a mesma quantidade no domínio do tempo, de modo que isso levará à viabilidade de recriação do sinal de entrada.

— Youssef Rafaat
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