Um integrador com vazamento é a mesma coisa que um filtro passa-baixo?

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A equação que governa um integrador com vazamento (de acordo com a Wikipedia pelo menos) é

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Um integrador com vazamento de tempo contínuo é, portanto, a mesma coisa que um filtro passa-baixo com constante de tempo $A$ , até algum dimensionamento da entrada?

filters

— Kris
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Sim, mas verifique a definição de constante de tempo.

— precisa saber é o seguinte

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O chamado integrador com vazamento é um filtro de primeira ordem com feedback. Vamos encontrar sua função de transferência, assumindo que a entrada seja e a saída : $x(t)$ $y(t)$

\frac{d y (t)}{d t} + UMA y (t) = x (t)

$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$

eu {\frac{d y (t)}{d t} + UMA y (t)} = eu {x (t)}

$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$

onde indica a aplicação da transformada de Laplace . Avançando: $\mathcal{L}$

s Y (s) + A Y (s) = X (s)

$sY(s) + AY(s) = X(s)$

H (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{1}{s + A}

$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$

(aproveitando a propriedade da transformação de Laplace que , assumindo que). $\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$ $y(0) = 0$

Este sistema, com a função de transferência , tem um único pólo em . Lembre-se de que sua resposta de frequência na frequência pode ser encontrada deixando : $H(s)$ $s = -A$ $\omega$ $s=j\omega$

H (j ω) = \frac{1}{j ω + A}

$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$

Para obter uma visão aproximada dessa resposta, primeiro deixe : $\omega \to 0$

lim_{ω \to 0} H (ω) = \frac{1}{A}

$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$

Assim, o ganho DC do sistema é inversamente proporcional ao fator de realimentação . Em seguida, deixe : $A$ $w \to \infty$

lim_{ω \to \infty} H (ω) = 0

$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$

A resposta de frequência do sistema, portanto, chega a zero para as altas frequências. Isso segue o protótipo aproximado de um filtro passa-baixo. Para responder sua outra pergunta em relação à constante de tempo, vale a pena conferir a resposta no domínio do tempo do sistema. Sua resposta ao impulso pode ser encontrada transformando inversamente a função de transferência:

H (s) = \frac{1}{s + A} \Leftrightarrow e^{- A t} u (t) = h (t)

$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$

onde é a função de passo Heaviside . Essa é uma transformação muito comum que geralmente pode ser encontrada em tabelas de transformadas de Laplace . Essa resposta ao impulso é uma função de decaimento exponencial , geralmente escrita no seguinte formato: $u(t)$

h (t) = e^{- \frac{t}{τ}} você (t)

$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$

onde é definido como a constante de tempo da função. Portanto, no seu exemplo, a constante de tempo do sistema é $\tau$ . $\tau = \frac{1}{A}$

— Jason R
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Obrigado pela resposta! Então parece que as funções de transferência

e

\frac{1}{1 + i ω τ}

$\frac{1}{1+i \omega \tau}$

são diferentes ...

\frac{1}{τ + i ω}

$\frac{1}{\tau + i \omega}$

— Kris

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A resposta de frequência é a mesma, sim, mas o aplicativo é diferente:

Com um filtro passa-baixo, seu sinal está na banda passante. A frequência de corte do filtro é definida acima da frequência mais alta que você deseja manter em seu sinal.
Com um integrador com vazamento, seu sinal está na faixa de parada. A frequência de corte do filtro é definida abaixo da frequência mais baixa no seu sinal.

insira a descrição da imagem aqui

Além disso, os integradores são sempre de primeira ordem, enquanto os filtros passa-baixo podem ser de qualquer ordem.

— endólito
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Mesma resposta exceto para o DC-ganho ...

— Arnfinn