Intuição para lóbulos laterais na FFT

Eu queria saber se existe uma maneira intuitiva de entender por que os lóbulos laterais aparecem ao executar uma FFT em um sinal de comprimento fixo?

Eu tenho duas explicações com a intenção de fornecer informações intuitivas adicionais além da explicação matemática concisa; primeiro, uma explicação da expansão da série de Fourier juntamente com a idéia de repetir a sequência do domínio do tempo truncado que mostra as descontinuidades implícitas resultantes, exigindo mais componentes de frequência para reconstrução do que realmente existiria se a forma de onda não fosse truncada. E segundo, uma explicação ao considerar a DFT como um banco de filtros não tão bons.

Primeira explicação: expansão da série de Fourier e periodicidade de tempo

A Transformada de Fourier de uma sequência com tempo limitado é idêntica à Transformada de Fourier de uma sequência que é periódica para todos os tempos.

Isso vale para a transformada de Fourier e a transformada discreta de Fourier e é conhecida como propriedade de periodicidade da DFT:

Propriedade da periodicidade: dado o vetor DFT do ponto N X [k], com uma amostra inversa de DFT x [n], com k e n variando de 0 a N-1; se n estiver fora do intervalo de 0,1,2 ..., N-1, então

$x[n] = x[modulo(n,N)]$

Da mesma forma, dada uma seqüência de tempo do ponto N x [n], com um DFT X [k], se k estiver fora do intervalo de 0, 1,2, ..., N-1, então

$X[k] = X[modulo(k,N)]$

Para ajudar a obter uma compreensão intuitiva, uma das principais vantagens é que tudo o que é amostrado em um domínio se torna periódico no outro domínio. Da mesma forma, qualquer coisa periódica em um domínio é amostrada (com valor discreto) no outro domínio. Aqui especificamente, "amostrado" significa que o sinal existirá apenas como valores diferentes de zero em locais discretos no domínio (fluxo de impulsos).

Amostragem em um domínio -> Periodicidade no outro domínio : Considere o espectro de uma onda cosseno analógica de 3 Hz antes e depois da amostragem com um conversor A / D. O espectro digital pode ser visto como periódico; uma visão em cilindro do espectro digital também é uma visão válida para explicar a periodicidade, mas acho que essa extensão ao domínio da frequência analógica (ao ter a frequência estendida para +/- infinito) ajuda alguns a obter uma visão intuitiva do processamento de sinal envolvido .

Periodicidade em um domínio -> Amostragem no outro domínio : considere a expansão da série de Fourier como um exemplo simples que demonstra essa propriedade. A expansão da série de Fourier é realizada em um intervalo finito no domínio do tempo de 0 a T. Quando decompostas em componentes de frequência separados, as únicas frequências usadas são DC, a frequência fundamental 1 / T e múltiplos inteiros de 1 / T (harmônicos). Com efeito, como as frequências só podem existir em múltiplos de 1 / T (e DC), o domínio da frequência foi amostrado.

Além disso, se reconstruirmos a forma de onda no domínio do tempo, somando os componentes de frequência individuais, também podemos ver a periodicidade implícita no domínio do tempo se permitirmos que os componentes de frequência se estendam além do intervalo de 0 a T. É por causa dessa periodicidade esses componentes de frequência não podem existir em outras frequências além de múltiplos de 1 / T (por causa da condição oposta: se eles existissem, eles não começariam e terminariam consistentemente no intervalo de tempo de 0 a T e, portanto, a periodicidade não poderá existir).

Esperamos que o entendimento acima ajude a fornecer uma explicação intuitiva do vazamento espectral. Então agora vou repetir um ponto principal:

A Transformada de Fourier de uma sequência com tempo limitado é idêntica à Transformada de Fourier de uma sequência que é periódica para todos os tempos.

Vazamento espectral com a " expansão de série de Fourier "

Considere duas formas de onda senoidais no intervalo de tempo de 0 a T, a primeira com um número inteiro de ciclos ao longo do intervalo de tempo e o segundo caso com um número não inteiro de ciclos.

Claramente, no caso 1, podemos ver com a visão de repetição que mesmo repetir nosso sinusóide puro continua sendo um sinusóide puro, mas no caso 2 nosso sinusóide agora sofre transições abruptas e, usando a visão de reconstrução da expansão da série de Fourier, seria necessário vários componentes de frequência para reconstruir essa forma de onda no domínio do tempo.

Segunda explicação: exibição do banco de filtros da DFT

Outra explicação intuitiva para vazamento espectral (e ajuda significativamente na compreensão da DFT em geral) é o que eu chamo de visualização do banco de filtros da DFT. Para ver isso, considere um DFT simples de 4 pt, como mostrado na figura abaixo, e observe para cada compartimento, estamos efetivamente girando o sinal e passando os valores rotados por um filtro FIR de ganho de unidade de 4 derivações. Para o primeiro compartimento, que corresponde a DC, não há rotação; portanto, apenas somamos as quatro amostras e, para os outros compartimentos, giramos progressivamente em frequências mais altas à medida que avançamos nos compartimentos DFT:

(Observação: se realizamos uma DFT de fluxo contínuo, onde calculamos uma nova DFT de 4 pontos em uma sequência de 4 pontos à medida que digitalizamos através de uma forma de onda, seria exatamente um banco de filtros, mas, independentemente disso, se fizermos isso ou não, isso A visão fornece uma grande visão do vazamento espectral, além da convolução usual de uma função sinc no domínio da frequência que a explicação matemática revela)

Agora considere a resposta de frequência para cada filtro FIR equivalente, usando os coeficientes fornecidos no DFT (por exemplo, use freqz ([coeff]) no Matlab ou Python), como mostra a figura abaixo:

Aqui está o ponto principal: Como cada filtro na construção do DFT é fundamentalmente um filtro FIR de ganho unitário , a forma desse filtro na frequência se aproxima de uma função sinc à medida que o comprimento do DFT fica mais longo (e é uma função sinc alias para N pequeno). Então, chamaremos esses filtros sinc e notaremos que um filtro sinc possui lóbulos laterais relativamente altos e um envelope que sai muito lentamente com frequência (a 1 / f para um sinc puro). Com os rotadores de fase na DFT, apenas movemos o lóbulo principal desse filtro sinc para cada compartimento de interesse, mas os lobos laterais existentes para cada compartimento permitem que frequências em outros locais façam com que a energia apareça nesse compartimento . A quantidade de vazamento é completamente prevista por esses filtros.

Usando essa visualização, considere um sinal de entrada de tom único com uma frequência que esteja entre dois compartimentos de frequência, como mostrado na figura abaixo (uma entrada que exista exatamente em qualquer compartimento terá um número inteiro de ciclos no intervalo do domínio de tempo e, portanto, SEM vazamento espectral, como mostramos anteriormente). O filtro superior mostra a amplitude nesse local de frequência que "vazará" para o primeiro compartimento. O segundo filtro mostra a amplitude (um pouco mais alta), o terceiro compartimento (cuja frequência está mais próxima) terá a resposta mais alta e o quarto compartimento será mais baixo.

RESUMO

Apresentei duas explicações com a intenção de fornecer informações intuitivas adicionais.O insight além da explicação matemática concisa da multiplicação por uma janela retangular no domínio do tempo é convolução no domínio da frequência (e o vazamento que vemos, portanto, é o resultado de uma função sinc convolvendo em frequência com a nossa forma de onda de interesse que truncamos no tempo) ; primeiro, uma explicação da expansão da série de Fourier juntamente com a idéia de repetir a sequência do domínio do tempo truncado que mostra as descontinuidades implícitas resultantes, exigindo mais componentes de frequência para reconstrução do que realmente existiria se a forma de onda não fosse truncada. E segundo, uma explicação de olhar para o DFT como um banco de filtros e filtros ruins para isso (especificamente filtros de ganho de unidade que se aproximam de uma resposta de frequência de função sinc à medida que N aumenta).

Quando você arranca $N$ amostras de um senoide de um fluxo de amostras de maior comprimento (porque tudo o que você pode fazer é passar $N$amostras na FFT), você está aplicando uma janela. A janela retangular.

Windowing é multiplicação no domínio do tempo. A multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da frequência. Os lobos laterais que você vê são o resultado da convolução da Transformada de Fourier da função de janela com a única linha espectral que seria a Transformada de Fourier do sinusóide.

Os vetores de base de uma DFT são todos exatamente periódicos inteiros dentro da largura da abertura da DFT. Se o seu sinal não for exatamente inteiro periódico dentro do seu comprimento fixo, ele não poderá ser representado exata e completamente por nenhuma frequência única de vetores de base DFT. Se o seu sinal se assemelhar a um sinusóide, geralmente é representado principalmente por um único compartimento de frequência de resultados DFT (além de uma complexa imagem espelhada conjugada para entrada estritamente real), mas como pode não ser uma correspondência exata de frequência, a sobra, não a energia correspondente deve ser representada em algum lugar para que o resultado DFT represente completamente o sinal. Essa sobra de energia vai para os lóbulos laterais.

Se você subtrair a melhor sinusóide periódica correspondente, mas exatamente inteira, do seu sinal, a diferença (pode parecer algo como um triângulo torcido fino ou gravata borboleta, tente) é o que é representado ou decomposto pelos lobos laterais.

A forma dos lobos laterais é um Sinc (ou mais precisamente, um núcleo periódico de Sinc ou Dirichlet), já que essa é a transformação da janela retangular que você recebe em qualquer sinal de comprimento finito.

Estou aprendendo muito lentamente DSP e pensei em questões semelhantes. Espero que uma explicação muito simples que seja útil para você seja:

Cada compartimento da FFT representa exatamente uma frequência específica. Portanto, para representar uma frequência que não corresponde à frequência exata de uma caixa, ela deve estar entre duas caixas, ou seja, será manchada em duas caixas.

Quando você pensa no fato de que uma FFT só pode ser aplicada a parte do sinal, normalmente há uma descontinuidade em cada extremidade da parte do sinal em que a FFT é aplicada. Isso é mais difícil de explicar de maneira simples, mas acho que você poderia pensar nisso forçando a matemática a introduzir uma tonelada de ondas senoidais extras para modelar a descontinuidade e poluir mais caixas (isso responde à pergunta, o próximo passo sobre o Windows é um aparte) ), para atenuar isso, uma janela é usada para suavizar a descontinuidade em cada extremidade, mas na extensão da alteração do sinal.

Quando digo frequência, quero dizer onda senoidal de uma determinada frequência, então a análise de Fourier assume que você está pensando no seu sinal como uma soma de ondas senoidais.