Como posso decompor um sinal em ondas quadradas?

Estou lidando com sinais que são uma superposição de diferentes ondas quadradas com diferentes amplitudes e fases. Normalmente, seria possível decompor um sinal em ondas senoidais com a ajuda da transformação de Fourier, mas nesse caso específico, uma decomposição em ondas quadradas seria muito mais eficaz. Uma transformada de Fourier produziria um espectro muito complicado, enquanto uma decomposição de onda quadrada deveria fornecer apenas algumas linhas claras.

Eu sei que essa decomposição é possível. De fato, eu poderia usar qualquer função periódica como base para a decomposição, e isso é mencionado em muitos textos sobre o assunto. Mas nunca consegui encontrar uma fórmula ou um exemplo explícito para uma decomposição em uma base não sinusoidal.

Minha abordagem para decompor um sinal consistindo no $N$ amostras $x_k$ , era usar uma fórmula semelhante à DFT

u_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} R_{k} (n)

$u_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, \mathcal{R}_k(n)$ Onde

R_{k}

$\mathcal{R}_k$ é uma onda quadrada de valor real com uma frequência

k

$k$ vezes a frequência base. Mas isso certamente não está completo, pois não obtenho nenhuma informação de fase para as ondas quadradas constituintes e não pude inverter o procedimento.

Como decompor meus sinais em ondas quadradas com amplitude e fase bem definidas?

— Sentinela
fonte

uma decomposição séria começaria encontrando (ou definindo) uma base de N vetores de sinal, que abrangeria o espaço vetorial de sinal de seu interesse. Então você usaria uma medida interna do produto para calcular os coeficientes dessas decomposições de sinal em termos de vetores de base.

— precisa

O Fat32 está certo: você quer ter certeza de que os sinais nos quais você está interessado são medidos pelo conjunto de ondas quadradas que você escolhe. Em geral, você também desejará que a base seja ortonormal.

— MBaz 3/08/16

"Mas isso certamente não está completo, já que não obtenho nenhuma informação de fase para as ondas quadradas constituintes": em uma transformação de Fourier para uma única frequência, são necessários dois coeficientes de reais (ou um complexo), o primeiro é o resultado da convolução com um cosseno e a segunda com um seno (que é apenas um

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}{2}$ cosseno deslocado). Então acho que para quadrados e por um determinado período

T

$T$ você também precisa se decompor em um

\frac{T}{2}

$\frac{T}{2}$ onda quadrada deslocada.

— AGEMO

O que é descrito na pergunta está muito próximo da Transformada de wavelet discreta (DWT) com o uso da Haar Wavelet .

O DWT decompõe um sinal em uma soma de funções ortogonais dilatadas e traduzidas que não precisam necessariamente ser trigonométricas . O DWT não transforma um sinal do domínio do tempo em um domínio da frequência, mas em um espaço de escala em que a dimensão "tempo" é preservada. A wavelet de Haar é efetivamente apenas um período de uma onda quadrada e, devido à sua dilatação e replicação à medida que a transformação avança, pareceria ocorrer em diferentes frequências. Para mais informações sobre o link entre o nível de decomposição e a frequência, consulte este link

Outra transformação que pode ser útil aqui, é a transformação Walsh-Hadamard, que faz exatamente isso, decompõe um sinal em uma soma de formas de onda quadradas ortogonais (observe também a sequência lá).

Para um breve exemplo que parece estar próximo do que você procura, consulte este link

Espero que isto ajude.

— A_A
fonte

Eu voto em Walsh!

— rrogers