Como a sequência de saída pode ser igual à soma das cópias da resposta ao impulso, sinais escalonados e com desvio de tempo?

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Sinto muito, esta é uma pergunta muito básica. Mas estou tendo dificuldade para entender como é possível.

Eu sei que a resposta ao impulso é a saída do sistema quando a sequência de impulsos é fornecida como entrada com as condições iniciais definidas como 0.

Escalar é aumentar a amplitude do sinal, ou seja, se eu multiplicar a entrada por 2, a saída também será multiplicada por 2.

O sinal com desvio de tempo é que, se eu atrasar a entrada, a saída também será atrasada pelo mesmo fator.

Agora, alguém pode ilustrar isso com um exemplo de como qualquer sequência pode ser decomposta em soma de cópias da resposta ao impulso, sinais redimensionados e com desvio de tempo?

Muito obrigado antecipadamente.

discrete-signals

— sarbjit
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Você parece estar considerando um sistema linear invariante no tempo , embora não tenha dito isso explicitamente. Você quer saber como pode dizer que uma determinada sequência, por exemplo, uma que foi obtida com base em lançamentos de moedas, pode ser expressa como uma soma de respostas de impulso em escala e com deslocamento de tempo? Ou seja, dada uma sequência arbitrária, encontre a entrada para o sistema que produzirá a sequência especificada como a saída? Se assim for, procurar informações sobre deconvolução

— Dilip Sarwate

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Para obter mais informações sobre por que a resposta ao impulso é importante, consulte a resposta a esta pergunta .

— Jason R

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Uma interpretação da sua pergunta pode ser a seguinte:

Dado que um sistema possui as duas propriedades a seguir:

a propriedade de escala ou homogeneidade que, se a resposta à entrada for a saída , para qualquer opção de , a resposta do sistema à entrada dimensionada será a saída dimensionada , $x(t)$ $y(t)$ $\alpha$ $\alpha\cdot x(t)$ $\alpha\cdot y(t)$

a propriedade invariância de tempo que, para todas as opções de , a resposta à entrada com atraso de tempo é a saída com atraso de tempo , $\tau$ $x(t-\tau)$ $y(t-\tau)$

então por que o sistema tem a propriedade de aditividade ou superposição de que a resposta à entrada é onde a resposta do sistema a é , ???? mais geral, por que a resposta do sistema é inserida fornecida por ? $x_1(t)+x_2(t)$ $y_1(t) + y_2(t)$ $x_i(t)$ $y_i(t)$ $i = 1,2~$ $~~~~~~~~~~~$ $\alpha\cdot x_1(t-\tau_1) + \beta\cdot x_2(t-\tau_2)$ $\alpha\cdot y_1(t-\tau_1) + \beta\cdot y_2(t-\tau_2)~$

A resposta é que um sistema com as propriedades 1 e 2 não possui necessariamente a propriedade de aditividade ou superposição. Se a propriedade de superposição também se mantiver, o sistema será chamado de sistema linear invariante no tempo. Mas essa é uma suposição adicional que você precisa fazer (ou provar).

Geralmente, homogeneidade e aditividade são combinadas na propriedade linearidade que diz que a resposta à entrada (ou seja, uma combinação linear de entradas e ) é (ou seja, a mesma combinação linear de saídas e ). $\alpha\cdot x_1(t)+\beta\cdot x_2(t)$ $x_1(t)$ $x_2(t)$ $\alpha\cdot y_1(t) + \beta\cdot y_2(t)$ $y_1(t)$ $y_2(t)$

Alguns pontos que devem ser guardados no fundo da mente:

Um sistema pode ser linear sem ser invariável no tempo (por exemplo, um modulador , ou invariante no tempo sem ser linear (por exemplo, um circuito de lei quadrada $x(t) \to x(t)\cos(\omega t)$ $x(t) \to [x(t)]^2$
Um sistema aditivo que produz saída em resposta à entrada e, portanto, parece ter a propriedade de escala não tem a propriedade de dimensionamento. Convença-se de que isso é verdade, tentando provar que a resposta a é . Em resumo, escala e aditividade são duas propriedades diferentes e um sistema que desfruta de uma delas não necessariamente desfruta da outra. $y(t) + y(t) = 2y(t)$ $x(t) + x(t) = 2x(t)$ $0.5x(t)$ $0.5y(t)$

Uma segunda interpretação da sua pergunta pode ser a seguinte:

Para um sistema linear invariável no tempo, a saída deve ser a soma das versões em escala e com atraso de tempo da resposta ao impulso, mas não vejo como é isso. Por exemplo, o resultado da convolução padrão (para sistemas de tempo discreto) diz onde é a resposta ao impulso (ou unidade) do sistema. Mas isso parece estar completamente ao contrário, uma vez que a resposta ao impulso está retrocedendo no tempo (como em no argumento de na fórmula acima, em comparação com no qual o tempo está avançando.
$y [n] = \sum_{m} x [m] h [n - m]$ $y[n] = \sum_m x[m]h[n-m]$ $h[\cdot]$ $-m$ $h$ $x[m]$

Essa é realmente uma preocupação legítima, mas, na verdade, a fórmula da convolução é muito bem-sucedida em ocultar o resultado de que a saída é a soma das versões em escala e com atraso de tempo da resposta ao impulso. O que está acontecendo é o seguinte.

Dividimos o sinal de entrada em uma soma de sinais de pulso unitários em escala. A resposta do sistema ao sinal de pulso da unidade é a resposta de impulso ou resposta de pulso e, pela propriedade de escala, o valor de entrada único ou, se você preferir cria uma resposta $x$ $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$

h [0], h [1], \dots, h [n], \dots

$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$

x [0]

$x[0]$

x [0] (\dots, 0, 0, 1, 0, 0, \dots) = \dots 0, 0, x [0], 0, 0, \dots

$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$

x [0] h [0], x [0] h [1], \dots, x [0] h [n], \dots

$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$

Da mesma forma, o valor de entrada único ou cria cria uma resposta Observe o atraso na resposta para . Podemos continuar mais nesse sentido, mas é melhor mudar para uma forma mais tabular e mostrar as várias saídas alinhadas corretamente no tempo. Nós temos $x[1]$

x [1] (\dots, 0, 0, 0, 1, 0, \dots) = \dots 0, 0, 0, x [1], 0, \dots

$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$

0, x [1] h [0], x [1] h [1], \dots, x [1] h [n - 1], x [1] h [n] \dots

$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$

x [1]

$x[1]$

\begin{array}{llllllll} time \to & 0 & 1 & 2 & \dots & n & n + 1 & \dots \\ x [0] & x [0] h [0] & x [0] h [1] & x [0] h [2] & \dots & x [0] h [n] & x [0] h [n + 1] & \dots \\ x [1] & 0 & x [1] h [0] & x [1] h [1] & \dots & x [1] h [n - 1] & x [1] h [n] & \dots \\ x [2] & 0 & 0 & x [2] h [0] & \dots & x [2] h [n - 2] & x [2] h [n - 1] & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x [m] & 0 & 0 & 0 & \dots & x [m] h [n - m] & x [m] h [n - m + 1] & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}

$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$ \ ddots \ end {array} As linhas no array acima são precisamente as versões em escala e atrasadas da resposta ao impulso que se somam à resposta ao sinal de entrada . $y$ $x$ Mas se você fizer uma pergunta mais específica, como

Qual é a saída no tempo ? $n$

então você pode obter a resposta somando a ésima coluna para obter a amada fórmula de convolução que confunde gerações de estudantes porque a resposta ao impulso parece estar retrocedendo no tempo. $n$

y [n] = x [0] h [n] + x [1] h [n - 1] + x [2] h [n - 2] + \dots + x [m] h [n - m] + \dots = \sum_{m = 0}^{\infty} x [m] h [n - m],

$y[n] = x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m],$

— Dilip Sarwate
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Este é um post antigo; no entanto, você seria capaz de demonstrar a suposta distinção entre additivitye scaling?

— Javadba

É sobre isso que estou perguntando. Ele diz que você se convence - e - desde que a aditividade e o dimensionamento sejam características dos sistemas lineares - ainda não estou convencido.

— Javadba

A dicotomia entre aditividade e escala é devida à natureza discreta? ie aditividade não implica escalar para inteiros positivos?

— Javadba

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Se considerarmos um sinal discreto, digamos

x [n] = {1,5,3}, com três impulsos em n = 0, 1 e 2 com amplitude 1, 5 e 3.

agora podemos escrever

x [n] = 1 * + 5 * + 5 * $\delta[n]$ $\delta[n-1]$ $\delta[n-2]$

ou generalizamos,

x [n] = $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]\delta(n-k)$

Para sistemas invariantes no tempo linear, sabemos que,

para uma determinada entrada, x [n] = , uma resposta do sistema como h [n], saída = $x[m]\delta[n-m]$ $y_m[n]$ $x[m]h[n-m]$

Portanto, usando propriedade comutativa,

y [n] = = $\sum^{\infty}_{-\infty} y_k[n]$ $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]h[n-k]$

— hari
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