Existe alguma caracterização alternativa da esparsidade de um sinal no sensor comprimido

A suposição inicial para a detecção compactada (CS) é que o sinal subjacente é escasso em alguma base, por exemplo, há um máximo de coeficientes de Fourier diferentes de zero para um sinal $s$ separado. E as experiências da vida real mostram que os sinais em consideração são frequentemente escassos.

A questão é: dado um sinal, antes de enviar os bits de amostra compressiva para o receptor e deixá-la se recuperar da melhor maneira possível, existe uma maneira de dizer qual é a escarsidade e se é um candidato adequado para compressão sentindo em primeiro lugar?

Como alternativa, existe alguma caracterização adicional / alternativa da esparsidade que possa nos dizer rapidamente se a CS será útil ou não. Pode-se ver trivialmente que o remetente poderia fazer exatamente o que o receptor faria com algum conjunto de medidas escolhido aleatoriamente e, em seguida, tentar descobrir a resposta. Mas existe alguma maneira alternativa de resolver essa questão?

Minha suspeita é que algo assim deva ter sido estudado, mas não consegui encontrar um bom indicador.

Nota: eu havia postado esta pergunta no Mathoverflow, há algumas semanas, mas não obtive resposta. Daí o post cruzado.

De fato, existem maneiras pelas quais a dispersão, ou o conteúdo da informação, pode ser estimado no dispositivo de aquisição. Os detalhes, praticidade e utilidade real de fazer isso são discutíveis e dependem muito do contexto em que é aplicado. No caso de imagens, pode-se determinar áreas de uma imagem que são mais ou menos compressíveis em uma base predeterminada. Por exemplo, consulte "Amostragem compressiva baseada em saliência para sinais de imagem", de Yu et al . Nesse caso, os requisitos adicionais de complexidade colocados no dispositivo de aquisição fornecem ganhos marginais.

No que diz respeito às suas perguntas sobre como fazer determinações quanto à utilidade do Compressed Sensing em um determinado sinal no momento da aquisição: Se o sinal em questão aderir a qualquer tipo de modelo conhecido a priori , o Compressed Sensing será possível. A recuperação precisa depende simplesmente da razão entre o número de medições realizadas e o grau em que o sinal amostrado adere ao seu modelo. Se for um modelo ruim, você não passará da transição de fase. Se for um bom modelo, você poderá calcular uma reconstrução precisa do sinal original. Além disso, as medições de Sensor de compressão são, em geral, à prova de futuro. Se você tiver um determinado número de medições para um sinal que é insuficiente em recuperar o sinal original com precisão usando o modelo que você possui hoje, ainda é possível criar amanhã um modelo melhor para o qual essas medições sejam suficientes para uma recuperação precisa.

Nota adicional (editar): A abordagem de aquisição mencionada em sua pergunta parecia bastante próxima à detecção comprimida adaptativa, então pensei que o seguinte poderia ser de interesse para os leitores dessa pergunta. Resultados recentes de Arias-Castro, Candes e Davenport mostraram que as estratégias de medição adaptativa não podem, em teoria, oferecer ganhos significativos em relação à detecção compactada não adaptativa (isto é, cega). Refiro os leitores ao seu trabalho, "Sobre os limites fundamentais da detecção adaptativa", que deve aparecer em breve no ITIT.

Uma abordagem prática seria verificar seu sinal de interesse com uma seleção de dicionários para descobrir se ele é escasso em algum deles. Na verdade, você não precisa fazer o que o receptor faria, ou seja, comprimir e reconstruir o sinal, para ver se ele é escasso no dicionário específico. Você pode aplicar uma transformação linear a ela e verificar se o vetor transformado é esparso. Se for, a transformação inversa é o seu dicionário. Por esparso, quero dizer contar o número de coeficientes diferentes de zero ou desprezíveis no vetor. Por exemplo, calcule a DFT do seu sinal. Se a representação no domínio da frequência for esparsa (suficiente), você poderá usar o DFT inverso como dicionário. Se a transformação não for invertível, por exemplo, uma matriz larga, não é tão simples, mas ainda deve ser possível com quadros.

Em relação às alternativas à esparsidade, o endolito menciona algumas tentativas de generalizar a "simplicidade" para mais do que apenas a esparsidade. Além disso, existem também:

1. Classificação baixa: utilizada na conclusão da matriz, que é uma espécie de generalização da matriz do sensor comprimido. Veja, por exemplo , Conclusão exata da matriz via otimização convexa e trabalhos mais recentes de Candès et al.
2. " k- simplicidade": os vetores não são exatamente esparsos; a maioria de suas entradas é a ou be alguns ( k ) estão no meio. Isso é descrito, por exemplo, em Donoho & Tanner, 'Teoremas precisos de subamostragem' (exemplo 3).

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$