Por que o filtro separável reduz o custo de computação do operador?

Um filtro separável no processamento de imagem pode ser gravado como produto de mais dois filtros simples. Normalmente, uma operação de convolução bidimensional é separada em filtros bidimensionais. Isso reduz o custo de computação do operador.

Por que o custo da computação é menor, se eu uso filtro separável? Eu não consigo entender, por que ter 2 filtros em vez de um aumentará o desempenho

Suponha que você tenha uma imagem em tamanho$N\times M$

Se você souber o que é usado classicamente, um núcleo de filtro quadrado, digamos tamanho , você precisará convencê-lo com a imagem - o que fornece pixels, cada um precisando multiplicado- acumula. Então você acaba com operações .$L\times L$$N\times M$$L^2$$A_{2D}=L^2MN$

Agora, se você pode se decompor esse filtro em um -sized horizontal e um vertical, 1D-filtro L-sized, você pode primeiro fazer todas as linhas - que é valores por linha, cada necessitam operações, de modo para todas as linhas - e, em seguida, você faria o mesmo com o filtro vertical, portanto, o para todas as colunas - e você terminará com e precisará mostrar apenas que$L$$M$$L$$LMN$$LNM$$A_{1D}=2LMN$

$$\begin{align} A_{1D} &< A_{2D}\\ \iff\\ 2LMN &< L^2MN &&||:LMN, \text{ legal since $L,M,N >0$}\\ \iff\\ 2 &< L \end{align}$$

a maioria dos filtros é maior que 2.