Por que os filtros de fase linear têm respostas de impulso simétricas?

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Foi dado como fato que os filtros de fase linear têm respostas de impulso simétricas, mas não vejo por que isso tem que ser verdade. Alguém pode explicar ou provar isso?

— CAJ
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Na verdade, acho que vejo o porquê.

X (j Ω) = | X (j Ω) | e^{- j θ (Ω)}

$X(j\Omega) = |X(j\Omega)|e^{-j\theta(\Omega)}$

$|X(j\Omega)|$ é puramente real e, portanto, se considerarmos a IFT, ela é uniforme e simétrica.

$\theta(\Omega)= a\Omega$ já que a fase é linear, então $e^{-ja\Omega}$ apenas muda a magnitude par e simétrica correspondente no domínio do tempo, de modo que a resposta ao impulso resultante é simétrica $a$ .

— CAJ
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sim, essa é a explicação.

— Maximilian Matthé

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Veja também esta pergunta e suas respostas. Existem 4 tipos de filtros FIR de fase linear. Você também pode ter uma resposta de impulso anti-simétrica (oferecendo uma mudança de fase adicional de

π / 2

$\pi/2$ ) e você tem filtros de fase linear de comprimento uniforme, nos quais a simetria não se refere a um número inteiro de amostra, mas a um ponto entre dois pontos de amostra.

— Matt L.

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Na verdade, não é necessário, dependendo de como você define "filtro". Clements e Pease derivaram um filtro não implementável que é uma fase linear, mas que não tem nenhuma simetria.

Os filtros são inúteis, pois não podem ser implementados, mas é um problema de pensamento interessante.

— Peter K.
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Uma referência muito boa mesmo. Obrigado por esclarecê-lo #

— Laurent Duval

@LaurentDuval Sim, gostei quando me deparei com ele. Não é particularmente útil para fins de implementação, mas estica um pouco o cérebro para ver como eles o fizeram. :-)

— Peter K.