Quando dois sinais são ortogonais?

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A definição clássica de ortogonalidade na álgebra linear é que dois vetores são ortogonais, se seu produto interno for zero.

Pensei que essa definição também pudesse ser aplicada aos sinais, mas pensei no seguinte exemplo:

Considere um sinal na forma de uma onda senoidal e outro sinal na forma de uma onda senoidal. Se eu provar os dois, obtenho dois vetores. Enquanto seno e cosseno são funções ortogonais, o produto dos vetores amostrados quase nunca é zero, nem sua função de correlação cruzada em t = 0 desaparece.

Então, como é definida a ortogonalidade neste caso? Ou o meu exemplo está errado?

orthogonal-signals

— user26311
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Como você deve saber, a ortogonalidade depende do produto interno do seu espaço vetorial. Na sua pergunta, você afirma que:

Enquanto seno e cosseno são funções ortogonais ...

Isso significa que você provavelmente já ouviu falar do produto interno "padrão" para espaços de função:

⟨ f, g ⟩ = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) g (x) d x

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) \ \mathrm{d}x$

Se você resolver esta integral para $f(x)=\cos (x)$ e $g(x)=\sin(x)$ por um único período, o resultado será $0$ : são ortogonais.

A amostragem desses sinais, no entanto, não está relacionada à ortogonalidade nem a nada. Os "vetores" que você obtém ao amostrar um sinal são apenas valores reunidos que fazem sentido para você : eles não são estritamente vetores , são apenas matrizes (na gíria de programação). O fato de chamá-los de vetores no MATLAB ou em qualquer outra linguagem de programação pode ser confuso.

Na verdade, é um pouco complicado, pois é possível definir um espaço vetorial de dimensão $N$ se você tem $N$ amostras para cada sinal, onde essas matrizes seriam de fato vetores reais . Mas isso definiria coisas diferentes.

Para simplificar, vamos supor que estamos no espaço vetorial $\mathbb{R}^3$ e você tem $3$ amostras para cada sinal e todas são de valor real. No primeiro caso, um vetor (isto é, três números juntos) se referiria a uma posição no espaço. No segundo, eles se referem a três valores que um sinal atinge em três momentos diferentes. Neste exemplo, é fácil identificar a diferença. Se você tinha $n$ amostras, a noção de "espaço" seria menos intuitiva, mas a idéia ainda se mantém.

Em poucas palavras, dois sinais são ortogonais se o produto interno entre eles (a saber, a integral que escrevi acima) for $0$ , e os vetores / matrizes obtidos por amostragem não nos dizem nada sobre serem ortogonais.

— Tendero
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O termo "vetor" não significa necessariamente "uma posição no espaço". De fato, qualquer elemento de um espaço vetorial pode ser considerado um vetor. O espaço funcional L2 também é um espaço vetorial com adição sábia de elementos e multiplicação escalar. Portanto, funções que são elementos de L2 podem ser consideradas vetores desse espaço vetorial. Como tal, o produto interno entre esses vetores determina se as funções são ortogonais nesse espaço vetorial.

— Maximilian Matthé 02/02

Olá @ MaximilianMatthé, nunca afirmei que "vetor" = "posição no espaço". Eu escrevi o exemplo do espaço vetorial

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ para tornar as coisas mais claras e, nesse caso, o vetor é em geral coordenadas espaciais. O fato de eu definir um produto interno para funções afirma (implicitamente) que as funções podem formar um espaço vetorial. Devo editar qualquer coisa na minha postagem para torná-la mais clara? Eu estava me referindo a amostras que não compunham o mesmo espaço vetorial que os próprios sinais, e essa é a razão pela qual as amostras não dizem nada sobre ortogonalidade.

— Tendero 02/02

@Tendero Obrigado (eu fiz a pergunta, esqueci de fazer o login antes)! No entanto, ainda estou lutando, porque você declarou que, se eu calculasse a integral fornecida com

f (x) = c o s (x)

$f(x)=cos(x)$ e

g (x) = s i n (x)

$g(x)=sin(x)$ , então eu pegaria

0

$0$ . Bem, não . O resultado é

- 0.5 c o s^{2} (x)

$-0.5cos^2(x)$ , que nem sempre é zero. Concedido, se eu integrar durante um período, recebo zero. Mas, na realidade, tenho funções não periódicas para começar, e o produto interno (conforme definido pela sua integral) também não é periódico. Então o que então?

— AlphaOmega 02/02

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As funções do @AlphaOmega são ortogonais em intervalos determinados. O intervalo de integração deve ser definido para saber se duas funções são ortogonais nesse intervalo . O usual é integrar o cosseno e o seno em um período e, em seguida, o produto interno é

0

$0$ . Se você possui funções não periódicas, talvez faça outra pergunta com o que foi declarado e veja o que acontece nesse caso.

— Tendero 02/02

O produto interno deve sempre incluir os limites, caso contrário, o produto interno não é uma função de um campo. O intervalo escolhido também altera o espaço vetorial de que se fala.

— syntonym

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A ortogonalidade é de fato definida através de um produto interno, com uma integral para uma variável de tempo ordinal contínua, com uma soma para uma variável de tempo discreta.

Ao converter dois sinais ortogonais (contínuos) em sinais discretos (amostragem regular, amplitudes discretas), possivelmente em janela (suporte finito), você pode afetar a ortogonalidade. Em outras palavras: dois sinais ortogonais de tempo contínuo podem se tornar apenas quase ortogonais quando discretizados. Se a discretização for boa o suficiente e a janela for bem escolhida, em alguns casos (referente à periodicidade, frequência), você manterá a ortogonalidade.

Na configuração contínua, o espaço de funções é infinito, portanto você tem muitas opções para encontrar sinais ortogonais. Em um espaço discreto, o número máximo de sinais mutuamente ortogonais é limitado pela dimensão do espaço.

— Laurent Duval
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Você primeiro precisa definir um produto interno para funções. Você não pode simplesmente se multiplicar.

Eu não tenho certeza sobre as propriedades do produto interno, mas de acordo com esta palestra, um produto interno deve ser comutativo, linear e o produto interno de uma função em si deve ser definido positivamente.

Uma opção para um produto interno para funções pode ser:

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) f_{2} (x) d x,

$\left\langle f_1, f_2 \right\rangle = \int_a^b f_1(x)\, f_2(x)\, \mathrm{d}x,$

com $a<b$ . Mas talvez você possa criar definições diferentes, ou brincar com essa e ver quais $a$ e $b$ , $\sin(x)$ e $\cos(x)$ são ortogonais.

— fibonático
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Na realidade,

s i n (2 π k_{1} f_{0} t)

$sin(2\pi k_1 f_0 t)$ e

\cos (2 π k_{2} f_{0} t)

$\cos(2\pi k_2 f_0 t)$ são ortogonais para

b - a = \frac{n}{f_{0}}

$b-a=\frac{n}{f_0}$ e

k_{1}, k_{2} \in Z

$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ com

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . Esse é o período fundamental de ambas as funções.

— Maximilian Matthé 02/02

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Os produtos internos não são lineares - são bilineares para espaços vetoriais reais e sesquilineares para espaços complexos. Eles são simétricos para espaços vetoriais reais e conjugados simétricos para espaços complexos.

— Batman

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Acho que posso responder à pergunta depois de ler o artigo "A decomposição do modo empírico e o espectro de Hilbert para análise de séries temporais não-lineares e não-estacionárias" de Huang. Neste artigo (página 927), Huang deu a definição da ortogonalidade entre dois sinais:

E também, gostaria de compartilhar com você meu código MATLAB:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

Isso é tudo, boa sorte ~

— Lesan Jia
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Em termos de multiplicação de matrizes (como para um DFT), o intervalo equivalente de integração para sinais é determinado pelo tamanho da matriz (ou pelo tamanho do vetor de entrada) e pela taxa de amostragem. Estes são frequentemente escolhidos devido a considerações práticas (tempo ou espaço de interesse e / ou disponibilidade, etc.). Ortogonalidade é definida durante esse intervalo de integração.

— hotpaw2
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Eu diria que seu exemplo está um pouco errado.

Você provavelmente não experimentou as funções $\sin$ e $\cos$ adequadamente, no sentido de que a amostragem deve respeitar sua periodicidade. Se você provar essas funções no aparelho $\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$ , Garanto que você descobrirá que o $N$ vetores tridimensionais que você encontrará serão totalmente ortogonais.

— axplusb
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Eu gosto de ter uma abordagem geométrica sobre esse tipo de problema, lembrando que a fórmula de Pitágoras ainda é válida para vetores:

| x - y |^{2} = | x |^{2} + | y |^{2} - 2 \cdot ⟨ x, y ⟩,

$| x - y |^2 = | x |^2 + | y |^2 - 2\cdot\left\langle x, y \right\rangle,$

com o produto escalar definindo o coeficiente de correlação como o cosseno do ângulo entre os dois vetores neste espaço interno do produto :

⟨ x, y ⟩ = | x | \cdot | y | \cdot \cos (a n g l e (x, y)),

$\left\langle x, y \right\rangle = | x | \cdot | y | \cdot \cos( angle(x, y)),$

O escalar $\cos(angle(x, y))$ é assim limitado entre $-1$ e $1$ e mede o cosseno do ângulo $angle(x, y)$ entre os vetores $x$ e $y$ .

de modo que, para responder sua pergunta, a ortogonalidade é definida (como no espaço planar da geometria usual) como quando o cosseno é zero .

— meduz
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o que você quer dizer com

\cos (f, g)

$\cos(f,g)$ ?

— Robert Bristow-Johnson

\cos

$\cos$ é o escalar definida pela segunda equação, I adicionou-se uma tinta + tentado fazer que mais clara

— meduz

Você quer dizer:

\begin{aligned} \cos (f, g) & ≜ \frac{⟨ f, g ⟩}{| f | \cdot | g |} \\ = \frac{| f |^{2} + | g |^{2} - | f - g |^{2}}{2 \cdot | f | \cdot | g |} \end{aligned}

$\begin{align} \cos(f,g) & \triangleq \frac{\langle f, g \rangle}{|f| \cdot |g|} \\ \\ &= \frac{|f|^2+|g|^2-|f-g|^2}{2 \cdot |f| \cdot |g|} \\ \end{align}$ é isso que você está dizendo? nunca vi uma função cosseno de dois argumentos em quase meio século que conhecia uma função cosseno.

— 226607 Robert Bristow-Johnson

você está certo, meu erro, corrigi a formulação da minha resposta.

— meduz