Qual é a diferença entre a diferença de Gaussian, Laplace de Gaussian e Mexican Hat Wavelet?

Existem três técnicas usadas no CV que parecem muito semelhantes entre si, mas com diferenças sutis:

• Laplaciano de Gaussiano:$\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Diferença de Gaussianos:$\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Convolução com a wavelet de Ricker :$\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

Pelo que entendi atualmente: DoG é uma aproximação do LoG. Ambos são usados ​​na detecção de blob e atuam essencialmente como filtros de passagem de banda. A convolução com uma wavelet mexicana Hat / Ricker parece alcançar praticamente o mesmo efeito.

Eu apliquei todas as três técnicas a um sinal de pulso (com escala necessária para obter as magnitudes semelhantes) e os resultados são muito próximos. De fato, LoG e Ricker parecem quase idênticos. A única diferença real que notei é que com o DoG, eu tinha 2 parâmetros livres para ajustar ( e ) vs 1 para LoG e Ricker. Eu também achei que a wavelet era a mais fácil / mais rápida, pois isso poderia ser feito com uma única convolução (feita através da multiplicação no espaço de Fourier com FT de um kernel) vs 2 para o DoG e uma convolução mais um Laplaciano para o LoG. $\sigma_1$$\sigma_1$

• Quais são as vantagens / desvantagens comparativas de cada técnica?
• Existem diferentes casos de uso em que um supera o outro?

Também tenho o pensamento intuitivo de que, em amostras discretas, LoG e Ricker degeneram para a mesma operação, pois pode ser implementado como o kernel .$\nabla^2$

A aplicação dessa operação a um gaussiano dá origem à wavelet Ricker / Hat. Além disso, como LoG e DoG estão relacionados à equação de difusão de calor, eu acho que eu poderia fazer com que ambos correspondessem a parâmetros suficientes.

(Ainda estou molhando meus pés com essas coisas para me sentir livre para corrigir / esclarecer isso!)

Laplace of Gaussian

$f$

$g$$*$

Assim, é possível computá-lo como a adição de duas convoluções da imagem de entrada com segundas derivadas do núcleo gaussiano (em 3D são 3 convoluções, etc.). Isso é interessante porque o núcleo gaussiano é separável, assim como seus derivados. Isso é,

o que significa que, em vez de uma convolução 2D, podemos calcular a mesma coisa usando duas convoluções 1D. Isso economiza muitos cálculos. Para o menor núcleo Gaussiano pensável, você teria 5 amostras ao longo de cada dimensão. Uma convolução 2D requer 25 multiplicações e adições, duas convoluções 1D exigem 10. Quanto maior o kernel, ou mais dimensões na imagem, mais significativas são essas economias computacionais.

Assim, o LoG pode ser calculado usando quatro convoluções 1D. O próprio kernel LoG, no entanto, não é separável.

$\nabla^2$

A wavelet Ricker ou o operador de chapéu mexicano são idênticos ao LoG, até o dimensionamento e a normalização .

Diferença de Gaussians

$f$

Portanto, assim como no LoG, o DoG pode ser visto como uma única convolução 2D não separável ou a soma (diferença neste caso) de duas convoluções separáveis. Vendo desta maneira, parece que não há vantagem computacional em usar o DoG sobre o LoG. No entanto, o DoG é um filtro passante de banda ajustável, o LoG não é ajustável da mesma maneira e deve ser visto como o operador derivado que é. O DoG também aparece naturalmente na configuração do espaço de escala, onde a imagem é filtrada em várias escalas (gaussianas com sigmas diferentes), a diferença entre as escalas subsequentes é um DoG.

Existe uma aproximação ao kernel do DoG que é separável, reduzindo o custo computacional pela metade, embora essa aproximação não seja isotrópica, levando à dependência rotacional do filtro.

Uma vez mostrei (para mim) a equivalência entre LoG e DoG, para um DoG em que a diferença de sigma entre os dois núcleos gaussianos é infinitesimalmente pequena (até a escala). Não tenho registros disso, mas não foi difícil de mostrar.

Outras formas de calcular esses filtros

A resposta de Laurent menciona a filtragem recursiva e o OP menciona a computação no domínio de Fourier. Esses conceitos se aplicam ao LoG e ao DoG.

O Gaussiano e seus derivados podem ser calculados usando um filtro IIR causal e anti-causal. Portanto, todas as convoluções 1D mencionadas acima podem ser aplicadas em tempo constante, com base no sigma. Observe que isso só é eficiente para sigmas maiores.

Da mesma forma, qualquer convolução pode ser calculada no domínio de Fourier, de modo que os kernels DoG e LoG 2D podem ser transformados no domínio de Fourier (ou melhor, computados lá) e aplicados por multiplicação.

Em conclusão

Não há diferenças significativas na complexidade computacional dessas duas abordagens. Ainda não encontrei um bom motivo para aproximar o LoG usando o DoG.

A wavelet Ricker, a wavelet Marr (isotrópica), o chapéu mexicano ou o Laplaciano de Gaussianos pertencem ao mesmo conceito: wavelets contínuas admissíveis (que satisfazem certas condições). Tradicionalmente, a wavelet Ricker é a versão 1D. A wavelet de Marr ou o chapéu mexicano são nomes dados no contexto de decomposições de imagem 2D. Você pode considerar, por exemplo, a Seção 2.2 de Um panorama sobre representações geométricas em várias escalas, entrelaçando a seletividade espacial, direcional e de frequência , Processamento de Sinais, 2011, L. Jacques et al. O Laplaciano de Gaussiano é a generalização multidimensional.

No entanto, na prática, as pessoas aceitam diferentes tipos de discretizações, em diferentes níveis.

$3\times 3$$3\times 3$

$\sigma_1$$\sigma_2$

Mas outras razões foram usadas, em algumas pirâmides do Laplaciano, por exemplo, que transformam o Dogg em filtros de passagem de banda ou detectores de borda mais genéricos.

Última referência: Correspondência de imagens usando pontos de interesse de escala e espaço generalizados , T. Lindeberg, 2015.