Covariância vs Autocorrelação

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Estou tentando descobrir se existe uma relação direta entre esses conceitos. Estritamente a partir das definições, elas parecem ser conceitos diferentes em geral. Quanto mais penso nisso, no entanto, mais acho que eles são muito semelhantes.

Sejam vetores aleatórios do WSS. A covariância, , é dada por onde representa o hermitiano do vetor. $X,Y$ $C_{XY}$

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

Seja um vetor aleatório do WSS. A função de correlação automática, , é fornecida por $Z$ $R_{XX}$

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Editar Nota Há uma correção para esta definição aplicada ao processamento de sinais, consulte a resposta de Matt abaixo.

A covariância não envolve um conceito de tempo, assume que cada elemento do vetor aleatório é uma realização diferente de algum gerador aleatório. A autocorrelação assume que um vetor aleatório é a evolução no tempo de algum gerador aleatório inicial. No entanto, no final, ambos são a mesma entidade matemática, uma sequência de números. Se você deixar , aparecerá Existe algo mais sutil que eu estou sentindo falta? $X=Y=Z$

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— rbell
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A definição de autocorrelação é declarado incorretamente na questão como fora apontado por Matt

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja

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De acordo com sua definição de autocorrelação, a autocorrelação é simplesmente a covariância das duas variáveis aleatórias e . Essa função também é chamada de autocovariância . $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Além disso, no processamento de sinal, a autocorrelação é geralmente definida como

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

isto é, sem subtrair a média. A autocovariância é dada por

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Essas duas funções estão relacionadas por

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L.
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Se você considerar como uma variável, a autocorrelação se tornará uma função desse "intervalo de tempo", que pode gerar informações muito interessantes sobre o conjunto de dados. Veja a relação entre autocorrelação, transformadas discretas de Fourier e o teorema de Wiener-Khinchin.

τ

$\tau$

— 28417 PhilMacKay

@PhilMacKay: Claro, mas isso só funciona para processos WSS. Eu dei as definições para o caso geral, onde os processos não são necessariamente estacionários.

— Matt L.

Sim, de fato, processos não estacionários podem ser irritantes para a análise de dados, e é por isso que sempre tento desestimular os dados antes de usar minhas amadas ferramentas estatísticas! Nem sempre é possível, no entanto ...

— PhilMacKay 28/02

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Observe como sua definição de autocorrelação inclui um termo adicional , que especifica um deslocamento das duas seqüências do número e . De fato, a notação sugere que é uma função contínua definida para qualquer , enquanto é um escalar. $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

Como você mencionou, se você deixar , estará implicando que , que é um caso especial de . $X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

Na minha experiência pessoal (astrofísica, processamento de vários sensores), a covariância foi usada como um coeficiente para verificar a similaridade de dois conjuntos de dados, enquanto a autocorrelação foi usada para caracterizar a distância de correlação, ou seja, a rapidez com que um dado evolui para se tornar outro dado. inteiramente.

— PhilMacKay
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