Esse sinal é perfeitamente reconstrutível?

A questão é a seguinte:

Deixe-me fazer a análise:

Primeiro, no caminho abaixo: E o carregamento:

$$\begin{align} X_1(z) &= z^{-1}X(z)\\ X_2(z) &= \frac{1}{2}\left\{X_1\left(z^\frac{1}{2}\right)+X_1\left(-z^\frac{1}{2}\right)\right\}\\ X_3(z) &= X_2(z^2) = \frac{1}{2}\left\{X_1(z)+X_1(-z)\} = \frac{1}{2}\{z^{-1}X(z)- z^{-1}X(-z)\right\}\\ X_4(z) &= zX_3(z) = \frac{1}{2}\left\{X(z)- X(-z)\right\} \end{align}$$ $$X_6(z) = X_5(z^2) = \frac{1}{2}\{X(z) + X(-z) \}$$

Portanto, o sinal reconstruído é:

$$\bar{X}(z) = X_4(z) + X_6(z) = X(z)$$

Mas estou muito confuso que esse banco de filtros não satisfaça a reconstrução perfeita de acordo com os sistemas Multirate e bancos de filtros da PP V. na página 193:

$$F_0(z) =H_1(-z), \quad F_1(z) = -H_0(-z)\tag{5.1.7}$$

Então, eu estou muito confuso. Quem poderia responder minha pergunta?

Sim, o sinal é perfeitamente reconstruído. Considere o processo em cada estágio, como mostro usando o diagrama de blocos abaixo:

Considere cada amostra do sinal em cada nó no diagrama (cada amostra é mostrada usando o índice de amostra no nó para cada linha):

(Nota: Você vê a mesma forma de reconstrução no algoritmo FFT).

Vou tentar ilustrar como o aliasing é cancelado (abordando o comentário do MBaz):

Primeiro, considere a resposta de frequência de (e ). é a transformação z de uma amostra DELAY de 1 no domínio do tempo (consulte Como / por que a transformação e os atrasos unitários estão relacionados? ). A resposta de frequência de um atraso é de magnitude constante e fase linear (como veríamos com um cabo de comprimento fixo; frequências muito baixas atrasariam apenas uma fração de um ciclo, enquanto frequências mais altas atrasariam vários ciclos:$z^{-1}$$z^{+1}$$z^{-1}$$\mathcal Z$

Especificamente para , como o atraso é de 1 amostra por ciclo, a amplitude será constante (1) e a fase será linear de 0 a para o eixo de frequência que vai de 0 à nossa taxa de amostragem . (E que é um avanço em vez de um atraso, será semelhante com a fase positiva versus a frequência:$z^{-1}$$-2\pi$$z^{+1}$

Fase apenas mostrada abaixo (a magnitude é 1 para todas as frequências)

Considere o seguinte espectro digital para ver o que acontece quando passamos pelo sistema apresentado pelo OP. (Observe que, ao lidar com sistemas com várias taxas e sistemas analógicos-digitais de sinal misto, isso me ajudou a visualizar o eixo de frequência de a , que mostro abaixo).$-\infty$$+\infty$

Agora observe a coisa bonita que acontece quando comparamos nosso espectro original com aquele após um atraso de unidade. Estou enfatizando que a fase em girou 180 ° e, em seguida, totalmente em 360 °, que volta a 0 ° em . Essa rotação é contínua desde a mudança de fase linear de 0 até a taxa de amostragem (o que eu tenho dificuldade em mostrar nesta imagem - eu ficaria eternamente grato se alguém pudesse me fazer um gráfico 3D mostrando o efeito espiral real com o espectro vermelho e azul artefatos desde que eu uso esse gráfico na minha classe e, como é preciso, leva muito tempo para explicar)$F_s/2$$F_s$

Agora, reveja o que acontece com o espectro quando dizimamos por 2 (o apelido que o MBaz estava astutamente preocupado). Para mim, a analogia do aliasing que ocorre quando você faz a conversão analógica para digital me ajudou a ver intuitivamente esse processo (já que a dizimação é uma "conversão digital para digital". Esse comentário foi apenas para aqueles que já estão familiarizados com o aliasing no A / Processo D.):

Por fim, revise o que acontece quando fazemos uma interpolação "Inserir zero". A interpolação de inserção zero mantém perfeitamente o espectro sem distorção, a não ser a imagem que agora se torna parte do nosso espectro digital primário. Isso ocorre porque uma inserção de zero é feita através da convolução de nossa forma de onda com a resposta da unidade de amostra (resposta ao impulso).

Com esse histórico importante, vamos seguir o sistema fornecido pelo OP. Primeiro dizimamos nosso sinal de entrada em amostras pares e ímpares. Observe a rotação causada pelo atraso e, em seguida, o aliasing causado pela dizimação (como descrito acima, para visualizar realmente esse espectro corretamente após o atraso seria uma espiral em que o azul está exatamente 180 ° fora de fase no ponto só):$f_s/2$

As amostras pares e ímpares são então interpoladas por dois, inserindo-se zero e o caminho inferior é avançado em uma amostra (portanto, note que fazer isso não é um processo causal, acabaríamos com um "atraso parasitário" de uma amostra. para realmente implementar isso, seguindo o que foi feito no gráfico). Observe que cria uma espiral na direção oposta. O efeito combinado de [ , dizimado por 2, interpola por 2, ] deslocará a fase 180 ° para cada componente de frequência acima de em nosso espectro original, enquanto passa todas as frequências componente abaixo$z^{+1}$$z^{-1}$$z^{+1}$$fs/2$$fs/2$com mudança de fase de 0 ° (além de criar as imagens no centro do novo espectro). Assim, combinando (adicionando) os dois caminhos, o espectro original é recuperado!

Nota: Você também pode subtrair os dois espectros para obter um espectro invertido! Observe que a adição e subtração é exatamente o que você faz com uma DFT de 2 pontos:

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}$$

Aprendemos que o aliasing pode arruinar catastroficamente nosso espectro e pensamos que, uma vez contaminados, não podemos separar a interferência. Esse seria certamente o caso aqui, se tivéssemos apenas um dos dois caminhos, mas o que está ocorrendo é que nosso segundo caminho está acompanhando nosso alias de tal maneira que, enquanto tivermos os dois caminhos, podemos cancelar construtivamente o interferência. Isso também fornece informações sobre os esquemas de detecção de multiusuários.

Primeiro, a condição PP Vaidyanathan é suficiente, não necessária.

A parte superior mantém todas as amostras uniformes. A parte inferior converte as probabilidades em pares, mantém todos os (romances) pares e coloca os pares (romances) de volta ao seu antigo lugar. Portanto, os atrasos e intercalam exatamente os pares mantidos (em cima) e as probabilidades (em baixo).$z^{-1}$$z^{+1}$

No PP Vaidyanathan, a Figura 5.1-1 corresponde ao seu diagrama com , , , , portanto$H_0(z) = 1$$H_1(z) = z^{-1}$$F_0(z) =1$$F_1(z) = z^{1}$

$$H_0(-z)F_0(z) + H_1(-z)F_1(z) = 1 +\frac{1}{-z}z^{1} = 0\,,$$

o que é bom.