Por que esse padrão Moiré se parece com isso?

Eu estava fazendo alguns gifs das transformações Mobius no Matlab, e alguns padrões estranhos começaram a aparecer. Não tenho certeza se é necessário um conhecimento mais profundo do tipo de arquivo / algoritmo para entender esse fenômeno, mas pensei que talvez pudesse haver uma explicação puramente matemática. A imagem é obtida colorindo o plano complexo como um tabuleiro de damas e, em seguida, invertendo-o, tomando o inverso do conjugado complexo. Aqui está o psuedocode matemático da imagem com um determinado zoom : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

E aqui estão as fotos para $k=1$ , $k=50$ , e $k=200$ . A resolução de cada imagem é $1000\times 1000$ . Não tenho formação em processamento de sinais, mas gostaria de aprender coisas!

EDITAR:

Mais especificamente, por que o padrão Moiré 'sincroniza' com a resolução da imagem em determinados pontos?
O padrão Moiré pode ser previsto?

image-processing aliasing pattern

— BH
fonte

O que você está vendo é um alias. Você está tentando representar uma imagem com componentes de frequência mais alta do que o monitor permite, para obter aliases. en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, estou procurando uma explicação matemática de por que o padrão de alias parece com a aparência!

— BH

Sim, o padrão Moiré pode ser previsto. Você está familiarizado com a transformação de Fourier?

— Marcus Müller

Não é suficiente para usá-lo nesta situação!

— BH

Preciso ir para a cama agora, espero que a explicação aproximadamente matemática abaixo o ajude - com base no palpite de que alguém com a cardinalidade de um conjunto infinito contável pode estar mais ou menos interessado em uma visão bastante abstrata do que em uma explicação funcionalmente analítica.

— Marcus Müller

Você precisará entender o teorema da amostragem . Em resumo, cada sinal tem o que chamamos de espectro ¹, que é a transformada de Fourier do sinal, pois vem no domínio do tempo (se for um sinal de tempo), ou domínio espacial (se é uma imagem. Desde a transformação de Fourier é bijetivo, um sinal e sua transformação são equivalentes; na verdade, pode-se interpretar a Transformada de Fourier como uma mudança de base. Chamamos isso de "conversão ao domínio da frequência", uma vez que os valores da transformada de Fourier para ordenadas baixas descrevem as coisas que mudam lentamente no sinal do domínio original (tempo ou espacial), enquanto o conteúdo de alta frequência é representado pelos valores de transformada de Fourier com alta posição.

Geralmente, esses espectros podem ter um certo suporte ; o suporte é o intervalo mínimo fora do qual o espectro é 0.

Se você agora usa um sistema de observação cuja capacidade de reproduzir frequências é limitada a um intervalo menor do que o referido suporte (que geralmente é infinito, a propósito, e sempre é infinito para sinais com extensão finita no tempo ou no espaço), você não pode representar o sinal original com esse sistema.

Nesse caso, sua imagem tem uma certa resolução - que é, no final, o fato de você avaliar o valor de sua função em pontos discretos em um espaçamento fixo e não-infinitesimal. O inverso desse espaçamento é a taxa de amostragem (espacial).

Assim, sua imagem não pode representar o sinal original - é matematicamente impossível que o mapeamento da função subjacente para pixels seja realmente equivalente à função original, pois sabemos que, nesse caso, a faixa total de frequências representável pela sua avaliação em pontos discretos ("amostragem") é metade da taxa de amostragem e, portanto, algo deve dar errado com a parte do espectro do seu sinal que está acima da metade da taxa de amostragem.

O que acontece é, de fato, que o espectro recebe aliases - todo componente espectral em uma frequência é "deslocado" para baixo por , para que . De fato, isso leva à "estrutura" onde (parece) não deveria existir. $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Pegue as estruturas "grandes" da sua foto que eu pintei de verde:

Certamente parece que há conteúdo de baixa frequência aqui - mas, na realidade, é apenas o conteúdo de alta frequência nas frequências que ficou com alias às baixas frequências, pois estava próximo a um múltiplo inteiro da taxa de amostragem. $>\frac{f_\text{sample}}2$

Portanto, sim , você pode prever os artefatos que acontecem com um sinal 2D ao ser amostrado, comparando sua transformação de Fourier à largura de banda oferecida pela taxa de amostragem.

¹ isso pode ser diferente do espectro usado na álgebra linear para descrever as propriedades de Eigen dos operadores.

— Marcus Müller
fonte

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