Interpretação da densidade espectral de potência de Clarke Doppler

O que eu entendo da propagação do Doppler é que o movimento relativo entre o transmissor (TX) e o receptor (RX) altera o tempo de exposição do sinal. Em relação a um TX-RX de distância constante, um movimento em direção ao outro TX-RX "comprime" o sinal no tempo (o sinal leva menos tempo para se propagar) e o sinal é "expandido" no domínio da frequência. Da mesma forma, um RX-TX que se afasta "expande" o sinal no tempo e "comprime" seu espectro. Em resumo, isso está escalando a Transformada de Fourier. Esses dois casos extremos definem os limites esquerdo e direito da propagação de uma frequência original entre e que é a propagação máxima do Doppler. $-f_d$ $+f_d$ $f_d$

Observando o modelo de Clarke, trata-se apenas de um modelo de propagação múltipla com ambiente de dispersão rico e ângulo de chegada igual. (link para mais detalhes modelo Clarke )

Se bem entendi, há duas suposições que são racionais no ambiente urbano:

Rayleigh desvanecendo-se
ângulo de chegada igual ou sensibilidade igual ao receptor

Eu segui a matemática do artigo original, parece ok. O espectro de potência final do Doppler é então $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

O que não entendo é por $-f_d$ $f_d$ que a energia está concentrada nas duas frequências extremas de propagação e enquanto os ângulos de chegada são uniformes. Existe alguma interpretação física? O que estou perdendo do famoso modelo Clarke? Pessoalmente, esse modelo parece bem modelar o ambiente urbano típico.

RH Clarke, Uma teoria estatística da recepção de rádio móvel , The Bell System Technical Journal, julho / agosto de 1968, p. 957ff

Respostas Embora a resposta de Carlos capte a parte matemática mais fundamental, a resposta real está em seu comentário sobre "mapeamento entre ângulo e frequência". Além disso, a resposta de Maximiliano também é interessante.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
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Dada uma velocidade constante e não multipath que seria de esperar um deslocamento para Doppler freqüência constante ..

— Dan Boschen

Obrigado Dan, está correto. Mas não é por isso que peço ajuda.

— AlexTP #

Desculpe, eu não entendi sua pergunta; Acho que Carlos respondeu abaixo, mas o que você esperava ver para a energia além da trama que mostra?

— Dan Boschen 3/04

Sim, Carlos respondeu à minha pergunta, mas em seu comentário. É o mapeamento entre o ângulo de chegada e a frequência .

θ

$\theta$

f

$f$

— AlexTP3

Respostas:

Uma maneira simples e "não técnica" de pensar nisso é o fato de a frequência Doppler ser proporcional a . As amplitudes de cosseno, no entanto, não são distribuídas uniformemente, mas são fortemente ponderadas em direção a . $\cos\theta$ $\pm 1$

Exemplo de plotagem a ser demonstrada, usando o código Python / Pylab:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Mais rigor pode ser observado ao observar que e a potência recebida em qualquer ângulo é proporcional a um pequeno aumento de ângulo :

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$

d θ

$d\theta$

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

E a potência total pode ser determinada integrando a quantidade acima, que é identicamente o que define uma densidade espectral de potência.

— Robert L.
fonte

Obrigado. A matemática é clara, mas não responde à minha pergunta. Minha pergunta é qual é a interpretação física dessa distribuição cos, ou como a LoS e a reflexão de 180 ° capturam mais energia fisicamente.

— AlexTP3

As reflexões LoS e 180 graus não captam mais energia - isso não é reivindicado pelo modelo. Parece que sim, porque o gráfico com as singularidades é versus frequência, não ângulo. O mapeamento não linear entre frequência e ângulo é o motivo pelo qual as singularidades aparecem.

— Robert L.

Mais uma vez obrigado, é isso que quero perguntar, o "mapeamento não linear". Você concorda que eu posso dizer, em outro idioma, se levarmos a mesma quantidade de largura de banda para integrar, quanto mais próxima das extremidades do espectro Doppler for essa banda, maior o ângulo que acumulamos, e esse é o razão pela qual temos mais poder nas extremidades?

Δ f

$\Delta f$

d Θ

$d\Theta$

— AlexTP3

Além da resposta de Carlos, quero corrigir seu entendimento geral:

O que eu entendo da propagação do Doppler é que o movimento relativo entre o transmissor (TX) e o receptor (RX) altera o tempo de exposição do sinal. Em relação a um TX-RX de distância constante, um movimento em direção ao outro TX-RX "comprime" o sinal no tempo (o sinal leva menos tempo para se propagar) e o sinal é "expandido" no domínio da frequência. Da mesma forma, um RX-TX que se afasta "expande" o sinal no tempo e "comprime" seu espectro. Em resumo, isso está escalando a Transformada de Fourier .

Seu entendimento está correto no sentido de banda larga. No entanto, o modelo de Clarke refere-se à situação de banda estreita, onde o spread Doppler é dado por $f_d=f_c \frac{v}{c}$ . Em uma situação de banda larga, você não tem uma frequência de operadora. No modelo de Clarkes, você assume que a largura de banda $\Delta f$ do sinal é muito menor que $f_c$ e o sinal está concentrado em $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ . No modelo de Clarke, cada frequência experimenta o mesmo deslocamento, ou seja, X_ {out} (f) = X_ {in} (f-df), onde $df$ é a mudança instantânea, $X_{in},X_{out}$ são as transformadas de Fourier do sinal transmitido e recebido. Isso é aproximadamente correto, desde que $\Delta f<<f_c$ . No seu modelo de banda larga, cada frequência experimenta uma mudança proporcional à frequência, ou seja, $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ com $\alpha=\frac{v}{c}$ .

EDIT: Deixe-me explicar um pouco mais em termos matemáticos:

Em geral, dada uma onda senoidal com frequência $f$ que é enviado para um receptor, onde TX e RX têm uma velocidade relativa de $v$ , a onda senoidal é recebida com uma frequência $f(1\pm-\frac{v}{c})$ (sinal dependendo da direção do movimento).

A suposição de banda estreita agora diz que um sinal de transmissão está localizado em torno de uma frequência portadora $f_c\pm\Delta f$ Onde $2\Delta f<<f_c$ é a largura de banda do sinal (eu uso $2\Delta f$ como a largura de banda para simplificar a notação). Agora, assuma uma onda senoidal com frequência $f_c-\Delta f$ É transmitido. Assim, a onda senoidal recebida tem uma frequência

f_{o você t} = f_{Eu n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{Eu n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$ de onde vem a aproximação

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ . Como você vê, o deslocamento da frequência não depende da frequência real relativa à frequência da portadora. Esta é a suposição de banda estreita.

Eu não quero dizer que o efeito de espalhamento Doppler não altera a largura de banda de um sinal. De fato, ele espalha um sinal por $f_D=f_c\frac{v}{c}$ . No entanto, a distinção importante que quero destacar é que, em banda estreita, você pode assumir que todas as frequências experimentam o mesmo deslocamento, enquanto que na banda larga, o deslocamento depende da frequência real. O modelo de Clarke é válido para o caso de banda estreita, pois descreve a distribuição da mudança de frequência, quando uma onda senoidal com qualquer frequência (dentro da largura de banda) é enviada ao sistema.

— Maximilian Matthé
fonte

Obrigado. No entanto, eu não entendo. Qual a diferença entre esses casos de banda larga e banda estreita? Posso dizer no caso de banda estreita

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$ e a

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$ Porque

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$ ? Deixe-me expressar minha opinião de outra maneira, você está me dizendo que o spread Doppler não altera a largura de banda

Δ f

$\Delta f$ de sinal? Minha opinião é que a banda seja expandida, mas a expansão não é significativa devido à natureza (ou condição) da banda estreita

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ .

— AlexTP3

@AlexTP Adicionei um pouco de matemática. derivação, talvez isso torne mais claro?

— Maximilian Matthé 03/04

Obrigado. Entendo o que você quer dizer agora. De fato, contamos a mesma história porque

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$ ainda está em escala de operação, mas a aproximação do ponto à mudança de frequência constante é muito interessante. Você poderia elaborar "o modelo de Clarke vale para o caso de banda estreita, pois descreve a distribuição da mudança de frequência"? Entendo que, sem a suposição de banda estreita, a fórmula do espectro Doppler não é como o que citei.

— AlexTP3

O que eu quero saber é que, se o suporte do espectro Doppler depende da suposição de banda estreita. Porque eu entendi que, para uma determinada frequência, cada ângulo de

θ

$\theta$ cria um

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$ . O caminho de reflexão LoS e 180 graus cria duas extremidades do espectro Doppler, e o suporte deve ser independente da natureza do sinal transmitido. O que vai mudar é apenas o próprio espectro de potência.

— AlexTP3

Cada ângulo de chegada cria uma mudança de frequência diferente

f (θ)

$f(\theta)$ , isso é

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$ . De outras maneiras, acho que você pode entender o espectro Doppler como uma função de densidade de probabilidade do deslocamento doppler experiente, quando o ângulo de chegada é igualmente distribuído. Ou seja, é mais provável que a mudança seja

\pm f_{D}

$\pm f_D$ , mas não é muito provável que a mudança seja

0

$0$ .

— Maximilian Matthé 03/04