Efeito do janelamento no ruído

Entendo que truncar um sinal no tempo 'mancha' a resposta de frequência, dependendo da janela escolhida. Em geral, quanto menor a duração do sinal, mais 'achatada' a resposta de frequência, como pode ser visto aqui ( http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php ):

No entanto, como o comprimento da janela afeta a resposta em frequência do ruído (Gaussiano branco aditivo com banda ilimitada)? Suponha uma janela retangular de amplitude , duração e um lobo principal correspondente no domínio da frequência com amplitude e largura :$A$$T$$\operatorname{sinc}(\cdot)$$A\,T$$\frac{2}{T}$

$$\begin{align} \mathscr{F}\bigg\{A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \bigg\} &= \int_{-\infty}^{+\infty} A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{+T}{2}} A \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= A \, \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} \\ \\ &= A \,T \, \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$$

Se fosse corrigido e fosse dividido pela metade, isso resultaria em um de amplitude reduzida ao meio, mas duplicaria a largura do lobo principal. Parece que a convolução deste resultaria na 'mesma' amplitude de ruído no domínio da frequência devido ao cancelamento do . Ou seja, a largura de banda de ruído efetiva que contribui para uma determinada frequência é dobrada, mas a contribuição por Hz dessa largura de banda é reduzida pela metade.$A$$T$$\operatorname{sinc}$$\operatorname{sinc}$$\frac{1}{2}\cdot 2 = 1$

1. Isso é verdade? E, em geral, como a duração e a forma de uma janela afetam a resposta de frequência do ruído?
2. Se (1) for verdadeiro, isso implica que reduzir pela metade a duração da janela também reduzirá pela metade o SNR de um único sinusóide? (Como a magnitude sinc do sinal é reduzida pela metade, mas o nível de ruído permanece constante)

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Edit: Um ponto que eu percebi é que pode haver interferência destrutiva entre componentes de ruído de diferentes frequências, e, portanto, essa não é uma análise tão simples como apenas convencer a transformada de Fourier da função de janela com a raiz quadrada da densidade espectral da potência de ruído. Talvez uma fase de ruído uniformemente distribuída em cada frequência possa ser assumida?

Não tenho acesso, mas talvez este artigo seja útil? http://ieeexplore.ieee.org/document/199437/

ATUALIZAÇÃO: Minha resposta anterior não respondeu à pergunta do OP. O seguinte aborda a pergunta diretamente:

Bottom line:Antes da janela no tempo, cada amostra em frequência é uma variável aleatória Gaussiana do IID, pois a Transformada de Fourier de uma forma de onda AWGN no tempo resulta em uma forma de onda distribuída de forma idêntica (frequência Gaussiana distribuída e branca, o que significa que cada amostra é independente da próxima) . Após a janela no tempo, é criada uma dependência entre as amostras adjacentes em frequência. Mas a resposta geral de frequência ainda será branca (potência uniforme e igual em geral) e gaussiana. A variação de uma onda senoidal em relação à variação / Hz do processo de ruído branco (a variação para um processo AWGN deve ser dada como uma densidade em unidades de potência / Hz, pois um processo de ruído verdadeiramente branco possui potência infinita) será inalterada em relação um com o outro; se a janela causasse a queda da energia senoidal pela metade, o poder do barulho também diminuiria pela metade. Os valores reais dependem de como a normalização é feita nos cálculos, mas para um cálculo de potência direto que é energia / tempo, reduzir a janela pela metade (por exemplo) reduziria a potência pela metade, independentemente do tipo de forma de onda envolvida (Seno, AWGN, etc). Isso contrasta com o que aconteceria se convolvêssemos com uma janela retangular, que é coberta na segunda metade do post abaixo (qual foi minha resposta original, mas equivocada).

Detalhes:

Para sinais de tempo discretos, considere o seguinte no Teorema de Parseval, que mostra que a energia do sinal no tempo e na frequência é a mesma:

Quando o tempo passa de a que seria para o DTFT:$-\infty$$+\infty$

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X((e^{j\phi})|^2d\phi\tag{1}$$

Observe que ao usar a frequência normalizada (1) se torna o formulário abaixo que talvez seja mais fácil de seguir:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\int_{-0.5}^{0.5}|X(f)|^2df$$

Quando o tempo é limitado (em janela) seria para a DFT:

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{2}$$

No relacionamento DFT acima, usando o Teorema de Parseval, estamos comparando energia; se escalarmos ainda mais por M, onde M representa o tempo total de observação nas amostras, compararemos a potência sob vários tamanhos de janelas retangulares de N amostras que podemos aplicar tanto aos tons sinusoidais quanto ao ruído branco:

$$\frac{1}{M}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{M}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{3}$$

O caso da DTFT não convergirá sem nenhuma janela aplicada (energia infinita), mas podemos obter informações sobre a resposta considerando uma janela arbitrariamente grande (a DFT) e comparando-a com o que acontece quando a reduzimos com uma janela menor.

Onda senoidal

Considere uma onda senoidal com uma janela arbitrariamente longa N com um tempo de observação que também é igual a N:

Se a janela for realmente muito grande em comparação com um ciclo da onda senoidal, a DFT da onda senoidal será bem aproximada por dois impulsos (como é o caso exatamente quando a janela é um número inteiro de ciclos da onda senoidal), cada um com uma magnitude que é N / 2 vezes a magnitude do pico da onda senoidal no tempo. Assim, para uma onda senoidal com uma janela arbitrariamente longa, o teorema de Parseval resulta na variação esperada de uma onda senoidal com pico (usando M = N na Equação (3)):$A_p$

$$\frac{1}{N^2}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2 = \frac{1}{N^2}\left( \left(\frac{N}{2}A_p\right)^2+\left(\frac{N}{2}A_p\right)^2\right)=\frac{A_p^2}{2}=\sigma^2$$

À medida que reduzimos a janela da onda senoidal, a resposta de frequência da onda senoidal é de fato "manchada" para outras caixas; os impulsos tornar-se-ão funções Sinc em freqüência que se alargará à medida que a janela se estreitar, e a potência total ao considerar a soma quadrada de todos os compartimentos diminuirá conforme a razão N / M em que M representa o tamanho original da janela. Observe que a potência total do tamanho original da janela M mudará nos dois domínios se a fração residual de um ciclo de ondas senoidais se tornar significativa em comparação com a área integrada sob um ciclo ao quadrado, como é o caso quando a duração da janela não for significativamente maior que a um ciclo de uma onda senoidal. Se estivéssemos considerando um único tom de frequência exponencial complexo, essa variação à medida que o tamanho da janela se reduzisse significativamente não ocorreria.

AWGN

Um processo aditivo de ruído branco gaussiano no tempo é um processo aditivo de ruído branco gaussiano em frequência, com a mesma distribuição nos dois domínios. (Portanto, no que diz respeito a uma função matemática, é apenas uma mudança de variável de tempo para frequência ao usar uma transformada de Fourier unitária). Vamos também nos lembrar do que o AWGN é conceitualmente: é branco, o que significa que tem densidade de potência igual em TODAS as frequências (e, portanto, potência ilimitada e, portanto, não realizável) e gaussiano - o que significa que a distribuição de sua magnitude no tempo assume uma forma gaussiana . A transformação de Fourier de um processo branco gaussiano também é um processo branco gausssiano; o que isso significa? No domínio da frequência, a distribuição em magnitude da função versus frequência também assume uma forma gaussiana e, neste caso, em termos de ser "branca" significa explicitamente que a transformação dessa função (a função de domínio do tempo) tem poder igual sobre TODO o tempo. Em resumo, para nós, além da variável que define o domínio, as funções são idênticas. No que diz respeito às transformadas de Fourier, multiplicar por uma janela em um domínio é a convolução do kernel da janela (Transformada de Fourier da janela) no outro domínio. Quando filtramos um sinal, envolvemos o sinal com a resposta de impulso do filtro, que é a transformada de Fourier inversa da resposta de frequência. Além disso, ao se trabalhar com a DFT, como fizemos acima, a convolução é uma as funções são idênticas. No que diz respeito às transformadas de Fourier, multiplicar por uma janela em um domínio é a convolução do kernel da janela (Transformada de Fourier da janela) no outro domínio. Quando filtramos um sinal, envolvemos o sinal com a resposta de impulso do filtro, que é a transformada de Fourier inversa da resposta de frequência. Além disso, ao se trabalhar com a DFT, como fizemos acima, a convolução é uma as funções são idênticas. No que diz respeito às transformadas de Fourier, multiplicar por uma janela em um domínio é a convolução do kernel da janela (Transformada de Fourier da janela) no outro domínio. Quando filtramos um sinal, envolvemos o sinal com a resposta de impulso do filtro, que é a transformada de Fourier inversa da resposta de frequência. Além disso, ao se trabalhar com a DFT, como fizemos acima, a convolução é umaconvolução circular .

Com isso dito, considere o que aconteceria com a resposta de frequência de um processo AWGN quando a janela fosse exibida a tempo: Antes da janela, que é o caso de uma janela arbitrariamente longa N com um tempo de observação igual a N, a resposta de frequência é realmente branco e, como observamos acima, a "resposta no tempo" também é "branca" nesse caso (o que significa que se estende por todo o comprimento, com todas as amostras com distribuição semelhante). Observe também que, em relação ao intervalo de tempo da amostra, cada amostra no tempo não é correlacionada da seguinte (portanto, o resultado é um espectro no intervalo de frequência digital que é realmente branco). A variação do nosso sinal no domínio do tempo é igual à variação da nossa DFT quando escalamos a DFT por N = M, como mostrado em (3).

Assim como no caso da onda senoidal, se reduzirmos a janela retangular M para menos que M, a potência (variação) será reduzida em N / M, mas o que é interessante e pertinente à pergunta é que a resposta em frequência permanecerá branco e gaussiano! Por que é isso? Ao reduzir a janela retangular para M, estamos convencendo a resposta de freqüência com uma função Sinc (ou em nosso sistema discreto, o que se aproxima de uma função Sinc para M grande e é na verdade uma função Sinc "com alias") e, como observado, essa é uma circularconvolução. Assim, a resposta em frequência ainda seria branca, mas note-se que criamos uma dependência para cada amostra em frequência em amostras adjacentes devido à operação de convolução. Isso significa que na frequência cada amostra não é mais independente de amostra para amostra, portanto, no domínio do tempo, a transformação não será mais branca - mas no domínio da frequência, a distribuição de amplitude em si ainda será gaussiana e a densidade de potência ainda será uniforme. em todas as frequências dentro do intervalo de frequência digital usado e, portanto, é de fato ainda é branco em frequência.

Assim, o impacto de uma janela retangular no tempo para o domínio da frequência é remover a independência entre as amostras de frequência adjacentes e reduzir a potência geral proporcionalmente quando comparada no mesmo intervalo de observação (da mesma forma que é feito com uma onda senoidal, o mesmo não ocorre). mudar SNR); mas não altera a descrição estatística de ser branco (em frequência) e gaussiano distribuído. A dependência entre amostras em frequência é semelhante ao efeito de uma dependência de amostras no tempo: Quando temos uma dependência entre amostras no tempo, temos um processo de banda limitada (passa-baixa filtrada) que, portanto, podemos dizer que é "frequência limitada" . Quando temos uma dependência entre amostras em frequência, temos um processo com tempo limitado; que é o que a janela retangular está fazendo.

Como ponto final para ajudar a ver o que está acontecendo; às vezes, é mais fácil pensar em um domínio em vez do outro; portanto, considere se aplicamos a janela retangular a qualquer sinal AWGN em frequência inicialmente branca (densidade uniforme em todas as frequências). Antes da janela - o sinal no domínio do tempo se estenderia por todo o nosso intervalo de observação e a DFT se estenderia por todo o espaço de frequência definido pelo nosso intervalo de tempo de amostragem. Ao observar o sinal no tempo, não importa o quanto ampliamos a forma de onda no domínio do tempo, ele aparecerá como no primeiro gráfico abaixo para AWGN, porque cada amostra é independente da próxima. E o historograma da distribuição de magnitude é gaussiano. Se limitássemos a resposta de frequência (multiplicando a resposta de frequência por uma janela retangular), veríamos no domínio do tempo algo semelhante ao segundo gráfico abaixo; na medida em que aumentamos o zoom, podemos ver trajetórias definidas de uma amostra para a outra! Observe que o histograma da magnitude (contanto que o façamos em amostras suficientes) não muda e ainda é gaussiano. E é importante notar que nossa função no domínio do tempo ainda se estende ao longo de todo o tempo de observação com uma potência uniforme - portanto, é "branca" no tempo e gaussiana, mas não é mais branca na frequência. Assim, vemos diretamente o que aconteceria com a resposta de frequência no caso da pergunta do OP. Em vez das formas de onda abaixo do tempo, elas seriam frequência. A resposta de frequência ainda é uniforme em potência (branca) e gaussiana, mas, devido ao tempo de janelas, poderíamos agora ampliar a resposta de frequência e observar a correlação amostra a amostra que agora existiria e que não existia antes. para janelas. Antes da janela, cada amostra em frequência seria independente das amostras adjacentes; assim, conforme ampliamos a resposta em frequência, ela continuaria parecendo o primeiro gráfico abaixo. Mas se a função no domínio do tempo fosse exibida, criaria dependência entre as amostras adjacentes em frequência e, quando aplicássemos o zoom na resposta de frequência, nesse caso, começaríamos a observar algo como o segundo gráfico abaixo:

Ruído Gaussiano Branco (AWGN)

Ruído gaussiano com banda limitada

Uma outra maneira de provar que a resposta em frequência permanece branca após multiplicar a função no domínio do tempo por uma janela retangular é observar a função de autocorrelação em cada caso: A função de autocorrelação para um sinal AWGN é um impulso, e a resposta em frequência de um impulso é uma função uniforme. A adição de zeros à função AWGN (ou janela equivalente) não altera o resultado de ser um impulso e, portanto, a resposta de frequência ainda será uniforme (branca). A adição de zeros interpola entre as amostras existentes em frequência e, portanto, as trajetórias descritas anteriormente são criadas ... e observe que, para um determinado tamanho de janela de comprimento T de um sinal AWGN, as amostras em frequência são separadas por 1 / T permanecerá independente,

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Post anterior: O seguinte foi inicialmente fornecido como resposta, mas isso é específico para convolução com uma janela retangular que não foi a pergunta:

A duração e a forma das janelas afetam a densidade espectral do ruído branco com base na resposta de frequência da janela diretamente. Enquanto o ruído será reduzido em potência com base no comprimento relativo da janela; significado como uma soma dos quadrados ou$\int_0^T(x^2)dx$, enquanto uma onda senoidal dentro da largura de banda de correlação da janela (significando frequência <1 / T em que T é o comprimento da janela) aumentaria como um somatório. Prefiro considerar a janela como uma média móvel, de modo que a onda senoidal (se suficientemente baixa em frequência) não muda e o ruído é proporcionalmente menor. Isso apenas significa que normalizamos a janela em seu comprimento, mas é mais intuitivo que a janela não afete a própria onda senoidal, mas remova o ruído. A normalização, se não utilizada, resulta apenas em uma escala arbitrária, mas a proporção de sinal para ruído é o que interessa no final, em ambos os casos.

Considere um exemplo de processo de ruído branco (digital) com variação total = 1

Se filtrássemos isso com um filtro de ganho de unidade de 10 derivações (representando a convolução do processo de ruído branco com uma janela retangular discreta [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]), o ruído de torneira para torneira no filtro não seria correlacionado, isso aumentaria o sqrt (10) no desvio padrão (que representa sua quantidade de magnitude), enquanto uma onda senoidal que estava dentro da largura de banda do filtro seria correlacionada e aumentaria em um fator de 10 em magnitude.

Observe a resposta de frequência desse filtro, onde o ganho DC de 20dB representa o fator de 10 descrito acima, como (20Log10 (10)). Essa resposta mostra exatamente o que aconteceria ao nível de potência de um único tom em qualquer frequência dentro do espectro dos filtros, enquanto a potência de vários tons seria a soma de suas potências individuais (é assim que lidamos com o que acontece com o ruído, como em ):$\sum x^2$

E o efeito esperado no ruído branco

O ruído agora é modelado (colorido) devido à natureza de passagem baixa da janela, e o ruído geral após o processamento por esse filtro deve subir apenas 10log10 (10) = 10 dB. Assim, o SNR aumentou 10 dB desde que o tom (sinal) subiu 20 dB enquanto o ruído subiu 10dB, ou se normalizarmos para o nível do som, o ruído diminuiu 10 dB ou 1/10 em poder total.

Testando isso experimentalmente:

noise= randn(2^12,1);
var1 = std(noise);
noisefilt = filter(ones(10,1),1,noise);
var2 = std(noisefilt);
freqz(ones(10,1));  % frequency response

Resultados em var1 = 1,00355 e var2 = 10,64.

O aumento é apenas um fator de ganho constante (e arbitrário), portanto, o importante é como o ruído é efetuado em relação a uma onda senoidal, na medida em que a janela reduz o poder do ruído do ruído branco proporcionalmente (neste caso, compare uma janela mais larga a uma 1/10 de tamanho e o menor remove 1/10 da potência) enquanto reduz a onda senoidal de acordo com uma função Sinc com o primeiro nulo a 1 / T, onde T é o comprimento da janela. (Ou para qualquer janela arbitrária baseada na transformação de Fourier da própria janela).

Também como mencionei no comentário da postagem original, acredito que fred harris lida bem com a matemática na descrição de ganho coerente versus não coerente, largura de banda de ruído equivalente etc. em sistemas com janelas neste artigo clássico que faço referência frequentemente: https: // www .utdallas.edu / ~ cpb021000 / EE% 204361 / Ótimo% 20DSP% 20Papers / Harris% 20on% 20Windows.pdf

Editar : quero corrigir meu cálculo abaixo. O cálculo está correto, mas não calcula o que realmente é questionado.

Dado o sinal de ruído e a janela , o sinal geral é . O que você está interessado é a expressão . (A mudança para a antiga calibração é que você está realmente interessado na variação de cada amostra de frequência, não na energia do ruído geral)$n(t)$$w(t)$$n(t)w(t)$$E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]$

Então, vamos fazer o cálculo: Onde na última equação

$$\begin{align} E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]&=E[|N(f)*W(f)|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2]&\text{using }|x|^2=xx^*\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0E_w \end{align}$$ $E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$é a energia da janela. Então, você vê que a variação de ruído em cada compartimento de frequência é amplificada pela energia geral da janela (o que me parece razoável).

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Resposta antiga:

Este post não responde à pergunta, pois a integral final diverge. Acredito que haja um erro no meu cálculo, talvez alguém possa dar uma olhada nele?

Dado o sinal de ruído e a janela , o sinal geral é . O que você está interessado é na expressão .$n(t)$$w(t)$$n(t)w(t)$$E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]$

Então, vamos fazer o cálculo:

$$\begin{align} E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]&=E[\|N(f)*W(f)\|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[\|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1\|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{explicit norm}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1df&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}E_wdf=\infty \end{align}$$

Onde na última equação é a energia da janela.$E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$

Infelizmente, a última integral diverge. Onde está o erro? Não pode divergir, porque o ruído não pode ter variação infinita.