Por que o alias é inerentemente não linear?

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Por exemplo, ao ter 2 sinais $x(t)$ e $y(t)$ e transformando cada um com a adição de seus espectros, a operação é linear, pois o resultado seria o mesmo que a transformação de $(x + y)(t)$ .

Mesmo quando analisamos as séries de amostragem, cada um dos infinitos elementos se soma linearmente.

Mas como o alias é uma operação não linear e como é provado matematicamente?

sampling aliasing non-linear

— Starhowl
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Eu acho que você quer dizer "imagens" , não "pseudônimos" . Eles se tornam aliases se houver dobragem da reamostragem.

É porque você não está adicionando dois sinais, $x(t)$ e $\operatorname{III}(t)$ , você está multiplicando-os para que essas imagens apareçam.

\begin{aligned} x_{s} (t) & ≜ x (t) \cdot III (t / T) \\ = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \cdot δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & \triangleq x(t) \cdot \operatorname{III}(t/T) \\ &= x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \delta(t-nT) \\ \end{align}$

onde $x[n] \triangleq x(nT)$ e

III (u) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (u - n)

$\operatorname{III}(u) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(u-n)$

\begin{aligned} III (t / T) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t}{T} - n) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{III}(t/T) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t}{T}-n\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t-nT}{T}\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \\ \end{align}$

A última linha é de fazer séries fourier. Agora, se você usar a propriedade shifting da Transformada de Fourier, a Transformada de Fourier de será $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (f) & ≜ F {x_{s} (t)} \\ = F {x (t) III (t / T)} \\ = F {x (t) \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = F {\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (f - \frac{k}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(f) & \triangleq \mathscr{F}\{x_\text{s}(t)\} \\ &= \mathscr{F}\{x(t) \operatorname{III}(t/T) \} \\ &= \mathscr{F}\left\{x(t) \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \mathscr{F}\left\{\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(f-\tfrac{k}{T}\right) \\ \end{align}$

onde . $X(f) \triangleq \mathscr{F}\{ x(t) \}$

Esse processo não linear de multiplicação gera componentes de frequência que não existiam anteriormente em . Esses novos componentes são simplesmente versões deslocadas do e são chamadas de "imagens" . $x(t)$ $X(f)$

— Robert Bristow-Johnson
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A partir da definição de linearidade de um sistema, o processo de aliasing sob operador de amostragem parece ser linear ... Suponho que o termo distorção de aliasing crie um pouco de entendimento enganoso de que o processo não é linear. A amostragem é uma operação linear (mas variável no tempo) e o alias é apenas um caso específico de amostragem em que há sobreposição espectral. Mas a exposição no domínio do tempo é obviamente linear: OU Estou perdendo alguma coisa aqui. Btw: o aliasing não pode ser invertido, mas todas as transformações lineares devem ser (não tenho certeza)?

y (t) = T {x (t)} = (\sum δ (t - k T)) x (t)

$y(t) = T\{x(t)\} = (\sum {\delta(t-kT)})x(t)$

— precisa saber é o seguinte

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Dicas:

Um sistema LTI pode gerar componentes em alguma frequência se o sinal de entrada for tal que ? $\omega_0$ $x(n)$ $X(e^{j\omega_0})=0$
O alias faz isso?

As respostas a essas perguntas são diretas e, combinadas, respondem à pergunta original.

— Tendero
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Sei que a amostragem pode ser descrita como uma sucessão de blocos de construção lineares, mas não consigo lembrar a fonte e a página. Essa deve ser a chave, certo?

— Starhowl

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@ Tendero: é perfeitamente possível para um sistema linear gerar novas frequências, se for variável no tempo. É apenas um sistema de LTI que não pode.

— precisa saber é o seguinte

@ MBaz Obrigado por apontar isso - eu editei a resposta.

— Tendero