Identidades de transformada de Fourier

Nós sabemos o abaixo,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Agora, se por algum sinal

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Então, é seguro assumir o seguinte?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

ou isso depende do tipo de sinal?

$X(f)$

Em geral: se é real em um domínio, é conjugado simétrico no outro.

Sim, se eqs. (2) e (3) são válidos para qualquer "tipo de sinal" (o que eles fazem), e então (5) devem ser válidos.

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

As respostas de @Deve e @Hilmar são tecnicamente perfeitas. Gostaria de fornecer algumas informações adicionais, com algumas perguntas.

Primeiro, você conhece um sinal que satisfaça essa identidade de tempo reverso / conjugado :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Uma primeira idéia óbvia é escolher entre sinais reais e simétricos. Um natural na estrutura de Fourier é o cosseno .

Agora, vamos ficar um pouco mais complexos (trocadilhos).

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(chamado exponencial complexo ou cisoide ) também é uma solução . E sua transformação de Fourier (como uma função generalizada) é realmente real (embora de alguma forma "infinita"). Indo além, qualquer combinação linear de cisoides com coeficientes reais fará isso.

Sua pergunta ilustra como a dualidade de Fourier é importante e como usá-la pode simplificar alguns problemas. Como visto em SIMETRIA DO DTFT PARA SINAIS REAIS :

$x(n)$

$x$$t$$f$

É também chamado de saca-rolhas / espiral Heyser .