Identidades de transformada de Fourier


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Nós sabemos o abaixo,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ( t ) } = X ( - f )

(1)F{x(t)}=X(f)
2)F{x(-t)}=X(-f)
(3)F{x(t)}=X(-f)

Agora, se por algum sinal

4)x(-t)=x(t)

Então, é seguro assumir o seguinte?

(5)X(-f)=X(-f)

ou isso depende do tipo de sinal?


Mais detalhes antes da validação da resposta?
Laurent Duval

Respostas:


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X(f)

Em geral: se é real em um domínio, é conjugado simétrico no outro.


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Sim, se eqs. (2) e (3) são válidos para qualquer "tipo de sinal" (o que eles fazem), e então (5) devem ser válidos.

F{x(t)}=X(-f)
X(-f)=X(-f)

f=-g

X(g)=X(g)
X(f)x(t)

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As respostas de @Deve e @Hilmar são tecnicamente perfeitas. Gostaria de fornecer algumas informações adicionais, com algumas perguntas.

Primeiro, você conhece um sinal que satisfaça essa identidade de tempo reverso / conjugado :

x(t)=x(t)?

Uma primeira idéia óbvia é escolher entre sinais reais e simétricos. Um natural na estrutura de Fourier é o cosseno .

Agora, vamos ficar um pouco mais complexos (trocadilhos).

i=iti.sint

teit

(chamado exponencial complexo ou cisoide ) também é uma solução . E sua transformação de Fourier (como uma função generalizada) é realmente real (embora de alguma forma "infinita"). Indo além, qualquer combinação linear de cisoides com coeficientes reais fará isso.

Sua pergunta ilustra como a dualidade de Fourier é importante e como usá-la pode simplificar alguns problemas. Como visto em SIMETRIA DO DTFT PARA SINAIS REAIS :

x(n)

xtf

Propriedades complexas de simetria

É também chamado de saca-rolhas / espiral Heyser .

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