Sinais aleatórios como sinais de potência

Por que os sinais aleatórios são considerados sinais de potência (isto é, sinais com energia infinita e potência média finita)?

Isto faz algum sentido? O que significa que sinais aleatórios têm energia infinita, mesmo sabendo que os sinais da vida real (geralmente com aleatoriedade inerente) têm energia finita!

— Provável
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Você está fazendo várias declarações que não são verdadeiras ou são apenas meia verdade. Primeiro de tudo, você define um modelo para o seu sinal aleatório. Se esse modelo tem energia infinita, a culpa é sua. Então, sim, o universo é finito e o sol morrerá um dia, mas, para todos os efeitos práticos, todas as fontes naturais de ruído tendem a ser uma fonte infinita de energia.

— Marcus Müller

@ MarcusMüller Ok. Então, basicamente, o que você está dizendo é que isso só é verdade para sinais aleatórios em que o ruído vem de uma fonte que ocorre naturalmente (como o movimento browniano, por exemplo). Isso está correto?

— Provavelmente

Não, isso não está correto.

— Marcus Müller

Assim como tem extensão infinita , é uma construção matemática e não uma realidade física (prática), a definição matemática de um processo aleatório deve ter energia infinita: a integral de energia não pode convergir porque você não pode mostrar que vai para zero como vai para o infinito (como você deve mostrar isso para que a integral seja convergente). Porque se você pudesse mostrá-lo, então se tornaria um sinal determinístico conforme t vai para o infinito ... (como seu valor é previsto com certeza, que é 0, no limite).

\sin (w t)

$\sin(wt)$

X (t)

$X(t)$

t

$t$

X (t)

$X(t)$

— precisa

Sim, é sobre a definição matemática de um Processo Aleatório. Por outro lado, qualquer aplicação prática observará apenas uma extensão finita de um processo e, portanto, terá energia grande, mas finita. Este assunto é tão semelhante à observação de um sinal DC. O verdadeiro sinal DC deve ter uma extensão infinita, portanto, energia infinita. Mas o prático não. Como conseqüência desse fato, a transformada de Fourier da verdadeira CD é um impulso (amplitude infinita), enquanto o TR de uma CD com janela (prática) é uma energia finita de pulso sinc , com valor finito e finito.

— precisa

Respostas:

Observe que a condição

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) |^{2} d t < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt<\infty\tag{1}$

(ou seja, que o sinal $f(t)$ tem energia finita) é muito restritivo quando tentamos modelar sinais, embora obviamente qualquer sinal que realmente ocorra deva ter energia finita. Modelar sinais como processos aleatórios significa que ignoramos a condição $(1)$ . Os modelos são sempre irreais até certo ponto, mas muitos sinais podem ser descritos muito bem por processos aleatórios, mesmo que os sinais tenham energia finita e seus modelos não. Esse aspecto do modelo geralmente é irrelevante.

Um exemplo que pode servir para entender um pouco melhor esse fato é o modelo frequentemente usado de um processo estacionário (sentido amplo). Certas propriedades estatísticas de um processo desse tipo não mudam ao longo do tempo e, conseqüentemente, as realizações de um processo desse tipo geralmente não decairão. $t\rightarrow\pm\infty$ e $(1)$ geralmente não será satisfeito, mesmo que apenas nos interessemos pelas propriedades desse processo durante uma certa janela de tempo finito. No entanto, a potência e o espectro de potência podem ser definidos para esses processos, e a maioria dos processos praticamente úteis têm poder finito (ou pode ser feito facilmente para ter poder finito).

— Matt L.
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"Modelar sinais como processos aleatórios significa que ignoramos a condição (1)", isso significa que a afirmação de que sinais aleatórios não podem ter energia finita, mas apenas potência finita é verdadeira? Desculpe se isso parece pedir a mesma coisa duas vezes, mas estou realmente confuso agora e acho que preciso de uma resposta clara para essa pergunta.

— provável

@ Improvável: Sim, isso é verdade, embora realizações específicas de um processo aleatório possam teoricamente ter energia finita.

— Matt L.

Eu acho simples.

Queremos modelar um fenômeno físico aleatório para fins de análise. Uma maneira é modelá-lo por um processo estocástico $X(t)$ , ou seja, uma série temporal de variáveis aleatórias $\left\lbrace X(t_k) = X(t=t_k), t_k \in \mathbb{R} \right\rbrace$ .

A variável aleatória $X(t_k)$ está associado a uma função de distribuição de probabilidade (PDF) com alguns momentos finitos (em casos típicos, o primeiro e o segundo momentos equivalem a média e variância), novamente para fins de análise.

O fato de o resultado da variável aleatória $X(t_k)$ pode ser infinito, mesmo com uma probabilidade muito baixa, (em geral) gera energia de realizações do processo estocástico $X(t)$ infinito em qualquer versão com janela de tempo do $X(t)$ .

E o poder?

P = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T}^{+ T} | x (t) |^{2} d t

$P=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 \mathrm{d}t$

A potência pode ser definida finita, por exemplo, assumindo a ergodicidade de e momentos finitos. $P$ $X(t)$

As pessoas pensaram que esse tipo de modelo era razoável, tentaram usá-lo e acharam adequado muitos processos úteis. Assim, o modelo é mantido.

— AlexTP
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-1 para o absurdo no quarto parágrafo. Por definição, variáveis aleatórias assumem valores em , não e, portanto, as realizações de não podem ter valor durante um intervalo de duração diferente de zero, ou seja, não contribuem com nada para a energia da realização, seja com janela de tempo ou não.

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— precisa saber é o seguinte

@DilipSarwate obrigado, eu poderia entender que se as variáveis assumem valores em (é ?), As realizações de podem ter valor em um intervalo de duração diferente de zero? E como você pode explicar que um sinal aleatório com janela de tempo possui energia infinita?

R +

$\mathbb{R}+$

(0, + \infty) \subset R

$(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP3

Em exposições elementares da teoria de variáveis aleatórias, uma variável aleatória é um mapeamento de um espaço de amostra para e nega-se a existência de quaisquer resultados em mapeados para : esses valores não são em . Uma exposição mais formal permite o intervalo mas insiste que o conjunto de todos os resultados mapeados para é um evento de probabilidade . Agora, a energia é a integral de e um valor momentâneo de

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb R$

ω

$\omega$

\pm \infty

$\pm\infty$

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

\pm \infty

$\pm \infty$

0

$0$

| x (t) |^{2}

$|x(t)|^2$

\pm \infty

$\pm \infty$ não transmite energia; você precisa deser ao longo de um intervalo de duração diferente de zero ...

| x (t) |

$|x(t)|$

\infty

$\infty$

— Dilip Sarwate

... e se seu modelo de processo aleatório permitir que incontáveis e infinitamente muitos tenham valor como deve ser necessário se uma realização de atingir e permanecer lá por um intervalo diferente de zero, você tem problemas mais sérios com que se preocupar do que trivialidades sobre energia e poder.

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm\infty$

— precisa saber é o seguinte

@DilipSarwate Concordo com você que minha explicação sobre "sinal aleatório tem energia infinita" está incorreta. E se eu entendi direito, você acabou de explicar que um modelo de processo aleatório não pode ter com valor para provar que eu estava errado. Você pode me dar alguma intuição por que o sinal aleatório é infinito em energia? A resposta de Matt L "Modelagem de sinais como processos aleatórios significa que ignoramos a condição de energia finita" parece vaga. Obrigado #

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

Além do comentário de Marcus Müller, se um sinal tem energia finita, o valor do sinal deve chegar a zero após um período de tempo suficiente, mas para sinais aleatórios, seus sinais geralmente não têm essa restrição.

— Mohammad M
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Mas o que você está dizendo significa que sinais aleatórios não têm energia finita !! Por isso, é correto dizer que eles podem ter um poder finito!

— provável

Considere o ruído térmico de um resistor; se você puder manter a temperatura desse resistor diferente de zero eternamente, seu ruído térmico terá energia infinita; em outras palavras, se você conseguir drenar a energia do ruído térmico desse resistor, sua temperatura cairá, a menos que você adiciona energia a esse resistor e mantém sua temperatura acima de zero.

— Mohammad M

@Likely O problema da energia infinita surge quando a amplitude do sinal diverge ou tem duração infinita.

— Mohammad M

Ok, eu entendi. Ainda você está me confundindo. Na sua resposta, você deu uma condição para que os sinais tivessem energia finita e disse que os sinais aleatórios não a seguem; em outras palavras, os sinais aleatórios não podem ter energia finita. Agora, você está dando condições para que um sinal aleatório tenha energia infinita, praticamente impossível, o que significa que sinais aleatórios não podem ter energia infinita. No final, não sei dizer o que é verdade!

— provável

Eu não disse que todos os sinais aleatórios não seguem essa condição, você pode definir processos aleatórios (sinais aleatórios) com energia finita. Na ciência, sempre usamos suposições simplificadoras. Por exemplo, na mecânica celeste, assumimos que a Terra é apenas um ponto sem dimensão e obtemos resultados surpreendentemente satisfatórios.

— Mohammad M