O que é frequência normalizada

Estou trabalhando no DSP e encontrando dificuldades para entender o termo Frequência normalizada frequentemente usada com DFT e DTFT.

O que é frequência normalizada no DSP? e como é diferente da frequência analógica?

Qual é o significado para normalizar a frequência no DSP?

Por que o limite da frequência normalizada é 2π?

Como a FFT lida com a frequência normalizada?

dft

— user6363
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Frequência normalizada é a frequência em unidades de ciclos / amostra ou radianos / amostra comumente usados como eixo de frequência para a representação de sinais digitais.

Quando as unidades são ciclos / amostra, a taxa de amostragem é de 1 (1 ciclo por amostra) e o sinal digital exclusivo na primeira zona de Nyquist reside em uma taxa de amostragem de -0,5 a +0,5 ciclos por amostra. É a frequência equivalente a representar o eixo do tempo em unidades de amostras, em vez de um intervalo de tempo real, como segundos.

Quando as unidades são radianos / amostra, a taxa de amostragem é $2\pi$ ( $2\pi$ radianos por amostra) eo sinal digital exclusivo na primeira zona de Nyquist reside em uma taxa de amostragem de $-\pi$ para $+\pi$ .

Como isso ocorre pode ser visto nas seguintes expressões:

Para um sinal analógico dado como

x (t) = \sin (2 π F t)

$x(t)=\sin(2\pi F t)$ onde F é a unidade de frequência analógica em Hz,

Quando amostrados a uma frequência de amostragem de $F_s$ Hz, o intervalo de amostragem é $T_s=1/F_s$ então o sinal após a amostragem é dado como:

x (n T_{s}) = \sin (2 π F n T_{s}) = \sin (\frac{2 π F}{F_{s}} n)

$x(nT_s)=\sin(2\pi F nT_s) = \sin\left(\frac{2\pi F}{F_s}n\right)$

Onde as unidades de frequência normalizada, $\frac{F}{F_s}$ em ciclos / amostra ou $\frac{2\pi F}{F_s}$ em radianos / amostra é claramente mostrado.

Isso é ilustrado abaixo usando $\Omega = 2\pi F$

Atualização: Como @ Fat32 aponta nos comentários, as unidades de taxa de amostragem $F_s$ na figura abaixo deve ser "amostras / s" para que a frequência normalizada se torne radianos / amostra.

Ver visualmente o conceito de "radianos / amostra" (e a maioria dos outros conceitos de DSP que lidam com frequência e tempo) ajudou-me consideravelmente a não ver os tons de frequência individuais como senos e / ou cossenos e, em vez disso, visualizá-los como fasores giratórios ( $e^{j\omega t} = 1 \angle (\omega t)$ ), como mostrado no gráfico abaixo, que mostra um fasor complexo girando a uma taxa de 2 Hz e está associado cosseno e seno (sendo o eixo real e imaginário). Cada ponto em um DFT é um tom de frequência individual representado como um único fasor rotativo no tempo. Esse tom em um sistema analógico giraria continuamente (no sentido anti-horário se uma frequência positiva e no sentido horário se uma frequência negativa) em F rotações por segundo em que F é a frequência em Hz ou em ciclos / segundo. Uma vez amostrada, a rotação será na mesma taxa, mas estará em amostras discretas, onde cada amostra é um ângulo constante em radianos e, portanto, a frequência pode ser quantificada em radianos / amostra, representando a taxa de rotação do fasor.

— Dan Boschen
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Eu estava apenas na metade do meu café! Erro completo, corrigido agora

— Dan Boschen 7/07

A FFT normalmente usa mais uma unidade para o eixo de frequência conhecido como Índice de Frequência, que varia de 0 a N-1, em que N é o número de amostras usadas na FFT. Isso mapeia para a frequência normalizada, equiparando N a 1 ciclo / amostra. Assim, se você dividir a frequência da FFT por N, obterá a frequência normalizada em ciclos / amostra. Por exemplo, se eu tiver 10 amostras na FFT em um sistema amostrado a 100 Hz, os intervalos de frequência no resultado da FFT passarão de 0, 10, 20 .... 90 Hz. N-1 = 9 e 100 Hz representa 1 amostra por ciclo. Espero que tenha ajudado.

— Dan Boschen 7/07

Sim, entendo - a taxa de amostragem deve ser dada em unidades de "Amostras por segundo" para fazer esse trabalho, bom ponto @ Fat32! Unidades consistentes são importantes.

— Dan Boschen 7/06

@ user6363 A taxa de amostragem é de 1 ciclo / amostra significa que quando você usa a frequência normalizada, qualquer que seja a taxa de amostragem se torna 1 (ciclo por amostra), por exemplo, se a taxa de amostragem é de 100 MHz, 100 MHz é mapeado para 1 e um tom a 25 MHz, por exemplo, seria mapeado para 0,25 (ciclos / amostra). Quando as unidades são radianos / amostra, a taxa de amostragem de 100 MHz é mapeada para

2 π

$2\pi$ eo tom em 25 MHz seria mapeado para

0.5 π

$0.5\pi$ . No meu exemplo, a forma de onda se estende na largura de banda de + 6π / 20 em uma escala normalizada de radianos / amostra. Se a taxa de amostragem era de 100 MHz, então esta seria +/- 20/03 * 100 MHz = 15 MHz +/-

— Dan Boschen

Não, eu disse que o compartimento 9 é 90 Hz e está correto. Também é correto que o compartimento [9] seja de -10 Hz. Veja os gráficos de frequência que eu e Fat32 publicamos e você pode ver que as frequências de 0 a Fs são iguais a 0 a Fs / 2 e -Fs / 2 a 0! Portanto, para uma FFT de 10 pt em um sistema de 100 Hz, as frequências são 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 E igualmente 0, 10, 20, 30, 40, 50, - 40, -30, -20, -10! Confira FFTSHIFT no Matlab, como faz esta tradução. Se isso ainda é confuso, isso seria uma boa pergunta diferente para perguntar (ou pesquisar se ele já foi respondida)

— Dan Boschen

A figura a seguir também exibe uma visualização gráfica simplificada do procedimento de normalização de frequência como resultado da amostragem de um sinal de tempo contínuo

— Fat32
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