Qual é o significado físico das frequências negativas?

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Esse foi um dos buracos no meu entendimento do DSP de queijo cheddar, então qual é a interpretação física de ter uma frequência negativa?

Se você tem um tom físico em alguma frequência e é DFT, obtém um resultado nas frequências positiva e negativa - por que e como isso ocorre? O que isso significa?

Edit: 18 de outubro de 2011. Forneci minha própria resposta, mas ampliei a questão para incluir as raízes do porquê de frequências negativas DEVERem existir.

frequency

— Spacey
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electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— endolith

Obrigado endolith, seria possível cruzar esta página com eles? Forneci uma resposta para minha própria pergunta e gostaria de compartilhá-la com esse grupo também. Parece que não tenho acesso a essa área ...

— Spacey

Depois de ler todos os significados físicos das frequências negativas, fiquei mais confuso. Eu sou químico Eu lido com moléculas. As frequências negativas indicam a instabilidade nas moléculas ou, em outras palavras, pontos de sela na superfície potencial da energia. Uma molécula estável não deve ter frequências imaginárias, um estado de transição deve ter uma (ponto de sela de 1ª ordem). Por que a molécula estável não deve ter frequências negativas (frequências imaginárias) afinal é complementar à frequência real.

— Prabin Rai

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As frequências negativas e freqüências imaginárias do @PrabinRai são muito diferentes. Uma frequência imaginária transforma um exponencial complexo oscilante e limitado em um exponencial comum que aumenta (ou diminui) exponencialmente. Uma frequência negativa, como as respostas abaixo indicam, refere-se à "mão" da oscilação. Eles ainda são funções limitadas, então eu imagino que ainda seria "estável".

— TC Proctor

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A frequência negativa não faz muito sentido para os sinusóides, mas a transformada de Fourier não divide um sinal em sinusóides, divide-o em exponenciais complexas (também chamadas de "sinusóides complexos" ou " cisoides "):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Na verdade, são espirais, girando no plano complexo:

exponencial complexo, mostrando o tempo e eixos reais e imaginários

( Fonte: Richard Lyons )

As espirais podem ser canhotas ou destras (girando no sentido horário ou anti-horário), e é daí que o conceito de frequência negativa vem. Você também pode pensar nisso como o ângulo de fase indo para frente ou para trás no tempo.

No caso de sinais reais, sempre existem dois exponenciais complexos de igual amplitude, girando em direções opostas, de modo que suas partes reais se combinam e as partes imaginárias se cancelam, deixando apenas um sinusóide real como resultado. É por isso que o espectro de uma onda senoidal sempre tem 2 picos, uma frequência positiva e outra negativa. Dependendo da fase das duas espirais, elas poderiam cancelar, deixando uma onda senoidal puramente real, ou uma onda cosseno real, ou uma onda senoidal puramente imaginária, etc.

Os componentes de frequência negativa e positiva são necessários para produzir o sinal real, mas se você já sabe que é um sinal real, o outro lado do espectro não fornece nenhuma informação extra; portanto, é frequentemente acenado e ignorado. Para o caso geral de sinais complexos, você precisa conhecer os dois lados do espectro de frequências.

— endólito
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Eu gosto dessa descrição; Eu acho que o diagrama explica bem.

— Jason R

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@ endolith Nice post - Eu já vi isso do livro de Lyon btw. Parece-me que o ponto de partida real para todas as oscilações está no domínio complexo, e acontece que só podemos medir oscilações realistas que ocorrem no eixo real. Portanto, quando uma onda física é medida, ela é levada de volta ao domínio complexo, que é onde vemos seus componentes no sentido horário e anti-horário. O que é engraçado, porque os sinais 'reais' acabam sendo 'duas vezes mais complicados' que os sinais complexos ...

— Spacey

@ Mohamed: Não sei se exponenciais complexos são mais "fundamentais" que os sinusoides em geral, embora sejam no caso da transformação de Fourier. Você pode produzir exponenciais complexas adicionando sinusóides e sinusóides adicionando exponenciais complexos. São todas apenas funções. Os sinusóides geralmente são derivados de círculos, que podem ser algo no plano complexo ou apenas a altura de um ponto em uma roda giratória.

— Endolith

@endolith Certo. Eu expandi isso alguns no meu post. De qualquer maneira ótimo post (e obrigado pelo link cruzado). Tenha um voto positivo! :-)

— Spacey

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@Goldname Os cisoides de frequência positiva e negativa são adicionados. As partes reais estão em fase e somadas, as partes imaginárias têm polaridade oposta e cancelam

— endólito

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Digamos que você tivesse uma roda giratória. Como você descreveria a rapidez com que está girando? Você provavelmente diria que está girando a Xrotações por minuto (rpm). Agora, como você transmite em que direção está girando com esse número? É a mesma Xrotação se estiver girando no sentido horário ou anti-horário. Então, você coça a cabeça e diz: Oh, bem, aqui está uma idéia inteligente: usarei a convenção de +Xpara indicar que está girando no sentido horário e -Xanti-horário. Voila! Você inventou rpms negativos!

A frequência negativa não difere do exemplo simples acima. Uma explicação matemática simples de como a frequência negativa aparece pode ser vista a partir das transformadas de Fourier dos sinusóides de tom puro.

Considere o par de transformadas de Fourier de um sinusóide complexo: (ignorando termos multiplicadores constantes). Para um sinusóide puro (real), temos da relação de Euler: $e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

e, portanto, seu par de transformadas de Fourier (novamente, ignorando multiplicadores constantes):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

Você pode ver que ele tem duas frequências: uma positiva em e uma negativa em por definição! O sinusóide complexo de é amplamente utilizado porque é incrivelmente útil na simplificação de nossos cálculos matemáticos. No entanto, ele tem apenas uma frequência e um sinusóide real tem duas. $\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Lorem Ipsum
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obrigado pela resposta - eu entendo a matemática - e isso é algo básico que eu conheço, mas não nos fornece informações sobre o significado físico ... Continuando no seu exemplo giratório - ok, então o sinal da frequência transmite o ' direção 'da mudança de fase. Justo, mas ainda assim, por que um sinusóide tem 'duas' frequências, uma positiva e outra negativa? É porque a transformação de Fourier é 'independente do tempo' e, assim, você pode olhar para um sinusóide real na direção real do tempo, obter seu + ve e observar a mesma onda de trás para frente no tempo e obter seu -ve? Obrigado.

— Spacey

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Não tenho certeza de que haja uma resposta concreta para sua confusão. O conteúdo em frequências negativas é uma consequência da definição da transformada de Fourier e não tem um significado físico diretamente. A transformação de Fourier não é inerentemente uma operação "física", portanto não precisa. A frequência de um sinusóide é a derivada temporal da fase, nada mais. As frequências negativas são apenas um artefato matemático no qual algumas pessoas ficam presas, semelhante ao uso de partes "imaginárias" de números complexos. Eles são ferramentas de análise usadas para modelagem, não necessariamente existentes no mundo físico.

— Jason R

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@ Mohamed Concordo com Jason aqui. Em algum momento, tentar construir uma explicação "física" só pode piorar as coisas. Não tenho certeza de que posso explicar melhor ...

— Lorem Ipsum 16/10

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Uma possível explicação é que, do ponto da transformação de Fourier, um sinusóide real é "realmente" a soma de dois sinusóides complexos girando em direções opostas. Usando a analogia da roda: Imagine duas rodas na origem de um sistema de coordenadas, girando na mesma velocidade, mas em direções opostas, com um pino em cada uma que comece em (1,0). Agora adicione as coordenadas dos dois pinos: y sempre será 0 e x será um sinusóide real.

— Sebastian Reichelt

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@Mohammad O que os números imaginários representam para você, no sentido físico?

— Lorem Ipsum

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Atualmente, meu ponto de vista (está sujeito a alterações) é o seguinte

Para a repetição sinusoidal, apenas frequências positivas fazem sentido. A interpretação física é clara. Para repetições exponenciais complexas, tanto as frequências positivas quanto as negativas fazem sentido. Pode ser possível anexar uma interpretação física à frequência negativa. Essa interpretação física da frequência negativa tem a ver com a direção da repetição.

A definição de frequência conforme fornecida no wiki é: "Frequência é o número de ocorrências de um evento repetido por unidade de tempo"

Se aderir a essa definição, a frequência negativa não faz sentido e, portanto, não tem interpretação física. No entanto, essa definição de frequência não é completa para repetições exponenciais complexas, que também podem ter direção.

Frequências negativas são usadas o tempo todo ao fazer análises de sinais ou sistemas. A razão fundamental para isso ser a fórmula de Euler e o fato de que exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LTI.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j \sin (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

A repetição sinusoidal é normalmente interessante e a repetição exponencial complexa é frequentemente usada para obter indiretamente a repetição sinusoidal. Que os dois estão relacionados pode ser facilmente visto considerando a representação de Fourier escrita usando exponenciais complexas, por exemplo,

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

No entanto, isso é equivalente a

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [a (ω) \cos (ω n) + b (ω) \sin (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) \sin (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Portanto, em vez de considerar um 'eixo de frequência sinusoidal' positivo, é considerado um 'eixo de frequência exponencial complexo' negativo e positivo. No 'eixo de frequência exponencial complexo', para sinais reais, é sabido que a parte da frequência negativa é redundante e apenas o 'eixo da frequência exponencial complexa' positivo é considerado. Ao fazer esse passo implicitamente, sabemos que o eixo da frequência representa repetição exponencial complexa e não repetição sinusoidal.

A repetição exponencial complexa é uma rotação circular no plano complexo. Para criar uma repetição sinusoidal, são necessárias duas repetições exponenciais complexas, uma repetição no sentido horário e uma repetição no sentido anti-horário. Se for construído um dispositivo físico que produz uma repetição sinusoidal inspirada em como a repetição sinusoidal é criada no plano complexo, ou seja, por dois dispositivos fisicamente rotativos que giram em direções opostas, pode-se dizer que um dos dispositivos rotativos tem um negativo frequência e, assim, a frequência negativa tem uma interpretação física.

— niaren
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Gosto da sua explicação ... lentamente, uma imagem está surgindo, veja minha resposta / editar para pergunta.

— Spacey

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Em muitas aplicações comuns, as frequências negativas não têm significado físico direto. Considere um caso em que haja uma tensão de entrada e saída em algum circuito elétrico com resistores, capacitores e indutores. Simplesmente existe uma tensão de entrada real com uma frequência e uma única tensão de saída com a mesma frequência, mas com amplitude e fase diferentes.

A ÚNICA razão pela qual você consideraria sinais complexos, transformações de Fourier complexas e matemática fasorial neste momento é matematicamente conveniente. Você poderia fazê-lo tão bem com uma matemática totalmente real, seria muito mais difícil.

Existem diferentes tipos de transformações de tempo / frequência. A Transformada de Fourier usa uma exponencial complexa como função básica e, aplicada a uma única onda senoidal com valor real, produz dois resultados avaliados, que são interpretados como frequência positiva e negativa. Existem outras transformações (como a Discrete Cosine Transform) que não produziriam nenhuma frequência negativa. Novamente, é uma questão de conveniência matemática; a transformada de Fourier é geralmente a maneira mais rápida e eficiente de resolver um problema específico.

— Hilmar
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Concordo que é certamente muito mais conveniente trabalhar no domínio complexo - a "questão" surge porque algumas pessoas afirmam que não há significado físico para as frequências negativas, mas de alguma forma elas possuem energia no domínio da frequência. Bem, se eles não estão "realmente lá", então onde está essa energia?

— Spacey

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Você deve estudar a transformação ou a série de Fourier para entender a frequência negativa. De fato, Fourier mostrou que podemos mostrar todas as ondas usando alguns sinusóides. Cada sinusóide pode ser mostrado com dois picos na frequência dessa onda, um no lado positivo e outro no negativo. Portanto, a razão teórica é clara. Mas, pela razão física, sempre vejo que as pessoas dizem que a frequência negativa tem apenas significado matemático. Mas acho que uma interpretação física não tenho certeza; Quando você estuda o movimento circular como principal das discussões sobre as ondas, a direção da velocidade do movimento no semicírculo é inversa à outra metade. Esta pode ser a razão pela qual temos dois picos em ambos os lados do domínio da frequência para cada onda senoidal.

— Hossein
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Hossein, sim, concordo que ficaria confuso por um tempo. Estou esperando Yoda pelo feedback, mas se é apenas o sinal da derivada da fase, vejo um problema linguístico - talvez a fonte de confusão com as muitas outras pessoas com quem conversei sobre isso também. O significado físico de uma 'frequência' é 'a taxa de oscilação' de algo, o significado é que deve ser positivo. É aqui que acho que as definições diferem das da física.

— Spacey

Por favor, veja a página en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion; e de modo f e w têm relação directa. Em cada onda, a direção da velocidade é alterada para ter uma oscilação completa. Sempre devemos cuidar para que uma onda real precise de duas taxas para ser completa. Na prática, quando você trabalha com o analisador de espectro, você apenas parte positiva porque é suficiente. A parte negativa é bastante significativa porque, no caso da mudança, você pode ver essa parte negativa no analisador de espectro que mostra apenas partes positivas.

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

— Hossein

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Qual é o significado da distância negativa? Uma possibilidade é que seja para continuidade, para que você não precise virar o planeta Terra de cabeça para baixo toda vez que atravessar o equador e quiser traçar sua posição no norte com uma 1ª derivada contínua.

O mesmo acontece com a frequência, quando se pode fazer coisas como modulação FM com uma modulação mais ampla que a frequência portadora. Como você planejaria isso?

— hotpaw2
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Veja minha nova resposta / edição à pergunta

— Spacey

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Uma maneira fácil de pensar sobre o problema é imaginar uma onda estacionária. A onda estacionária (no domínio do tempo) pode ser representada como uma soma de duas ondas itinerantes em movimento oposto (no domínio da frequência com vetor k positivo e negativo, ou + w e -w que é equivalente). Aí vem a resposta sobre por que você tem dois componentes de frequência na FFT. A FFT é basicamente uma soma (convolução) de muitas dessas ondas opostas que representam sua função no domínio do tempo.

— user3320933
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Costumava ser para obter a resposta certa para o poder, você tinha que dobrar a resposta. Mas se você integrar de menos infinito a mais infinito, obterá a resposta certa sem o dobro arbitrário. Então eles disseram que deve haver frequências negativas. Mas ninguém realmente os encontrou. Eles são, portanto, imaginários ou, pelo menos, do ponto de vista físico, inexplicáveis.

— Doug Barr
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Este acabou por ser um assunto bastante quente.

Depois de ler a rica multidão de opiniões e interpretações boas e diversas e deixar a questão esquentar em minha mente por algum tempo, acredito que tenho uma interpretação física do fenômeno de frequências negativas. E acredito que a principal interpretação aqui é que fourier é cego ao tempo. Expandindo ainda mais:

Muito se tem falado sobre a 'direção' da frequência e, portanto, como ela pode ser + ve ou -ve. Embora as idéias gerais dos autores afirmem que isso não seja perdido, essa afirmação é inconsistente com a definição de frequência temporal; portanto, primeiro devemos definir nossos termos com muito cuidado. Por exemplo:

A distância é um escalar (só pode ser + ve), enquanto o deslocamento é um vetor. (ou seja, tem direção, pode ser + ve ou -ve para ilustrar o cabeçalho).
A velocidade é um escalar (só pode ser + ve), enquanto a velocidade é um vetor. (ou seja, novamente, tem direção e pode ser + ve ou -ve).

Assim, pelas mesmas fichas,

A frequência temporal é escalar (pode ser apenas + ve)! A frequência é definida como o número de ciclos por unidade de tempo. Se essa é a definição aceita, não podemos simplesmente afirmar que ela está indo em uma "direção diferente". Afinal, é um escalar. Em vez disso, devemos definir um novo termo - o vetor equivalente à frequência. Talvez "frequência angular" seja a terminologia correta aqui e, de fato, é exatamente isso que uma frequência digital mede.

Agora, de repente, estamos no negócio de medir o número de rotações por unidade de tempo (uma quantidade vetorial que pode ter direção), VS apenas o número de repetições de alguma oscilação física.

Assim, quando perguntamos sobre a interpretação física de frequências negativas, também perguntamos implicitamente sobre como as medidas escalares e muito reais do número de oscilações por unidade de tempo de algum fenômeno físico, como ondas na praia, corrente CA sinusoidal por um fio, mapear para essa frequência angular que agora, de repente, tem direção, no sentido horário ou anti-horário.

A partir daqui, para chegar a uma interpretação física de frequências negativas, dois fatos precisam ser atendidos. O primeiro é que, como apontou Fourier, um tom real oscilatório com frequência temporal escalar, f , pode ser construído adicionando dois tons complexos oscilatórios, com frequências angulares vetoriais, + wew .

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

Isso é ótimo, mas e daí? Bem, os tons complexos estão girando em direções opostas uma à outra. (Veja também o comentário de Sebastian). Mas qual é o significado das 'direções' aqui que dão às nossas frequências angulares seu status vetorial? Que quantidade física está sendo refletida na direção da rotação? A resposta é tempo. No primeiro tom complexo, o tempo está viajando na direção + ve e, no segundo tom complexo, o tempo está viajando na direção -ve. O tempo está indo para trás.

Tendo isso em mente e aproveitando rapidamente para lembrar que a frequência temporal é a primeira derivada da fase em relação ao tempo (simplesmente a mudança de fase ao longo do tempo), tudo começa a se encaixar:

A interpretação física das frequências negativas é a seguinte:

Minha primeira percepção foi que fourier é independente do tempo . Ou seja, se você pensar bem, não há nada na análise de Fourier ou na própria transformação que possa lhe dizer qual é a "direção" do tempo. Agora, imagine um sistema fisicamente oscilante (isto é, um senoide real, por exemplo, uma corrente sobre um fio) que esteja oscilando em alguma frequência temporal escalar, f .

Imagine 'olhando' essa onda, na direção avançada do tempo, à medida que ela progride. Agora imagine calcular sua diferença de fase a cada momento que você progride. Isso fornecerá sua frequência temporal escalar e sua frequência é positiva. Por enquanto, tudo bem.

Mas espere um minuto - se fourier é cego para o tempo, então por que ele deveria considerar apenas sua onda na direção do tempo 'para frente'? Não há nada de especial nessa direção no tempo. Assim, por simetria, a outra direção do tempo também deve ser considerada. Assim, imagine agora 'olhando' para a mesma onda (ou seja, retrocedendo no tempo) e também realizando o mesmo cálculo da fase delta. Como o tempo está retrocedendo agora e sua frequência é de mudança de fase / (tempo negativo), sua frequência agora será negativa!

O que Fourier está realmente dizendo é que esse sinal tem energia se for reproduzido no tempo no compartimento de frequência f, mas também possui energia se reproduzido no tempo no retrocesso , embora no compartimento de frequência -f. Em certo sentido, DEVE dizer isso porque fourier não tem como 'saber' qual é a 'verdadeira' direção do tempo!

Então, como Fourier captura isso? Bem, para mostrar a direção do tempo, uma rotação de algum tipo deveser empregado de modo que uma rotação no sentido horário lide 'olhando' para o sinal na seta para a frente do tempo, e uma rotação no sentido anti-horário lide 'olhando' para o sinal como se o tempo estivesse voltando para trás. A frequência temporal escalar com a qual todos estamos familiarizados deve agora ser igual ao valor absoluto (em escala) da nossa frequência angular vetorial. Mas como pode um ponto significando o deslocamento de uma onda sinusóide chegar ao seu ponto inicial depois de um ciclo e, simultaneamente, girar em torno de um círculo e manter uma manifestação da frequência temporal que significa? Somente se os eixos principais desse círculo forem compostos de medir o deslocamento desse ponto em relação ao sinusóide original e um sinusóide em 90 graus. (É exatamente assim que fourier obtém seu seno e cosseno base o projeto contra você toda vez que você realiza uma DFT!). E, finalmente, como mantemos esses eixos separados? O 'j' garante que a magnitude de cada eixo seja sempre independente da magnitude do outro, já que números reais e imaginários não podem ser adicionados para gerar um novo número em qualquer domínio. (Mas isso é apenas uma observação).

Assim, em resumo:

A transformação de Fourier é independente do tempo. Não pode dizer a direção do tempo. Este é o coração das frequências negativas. Como frequência = mudança de fase / tempo, sempre que você recebe a DFT de um sinal, fourier está dizendo que, se o tempo estava avançando, sua energia está localizada no eixo de frequência + ve, mas se seu tempo estava voltando, sua energia está localizado no eixo da frequência -ve.

Como nosso universo mostrou antes , é precisamente porque Fourier não sabe a direção do tempo, que os dois lados da DFT devem ser simétricos e por que a existência de frequências negativas é necessária e, de fato, muito real.

— Spacey
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Eu acho que você está lendo um pouco demais para tentar justificar uma resposta que você já decidiu. As raízes das frequências "negativas" foram apontadas em outras respostas. A transformação de Fourier usa exponenciais complexas como funções básicas. Sua natureza complexa torna possível discriminar o sinal da frequência do exponencial à medida que o tempo aumenta. Exponenciais complexos são de interesse porque são funções próprias de sistemas lineares invariantes no tempo. Isso torna o TF muito útil como uma ferramenta de análise de sinais e sistemas.

— Jason R

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As frequências negativas que existem na decomposição complexo-exponencial de sinais fazem parte do pacote que acompanha a transformação de Fourier. Não há necessidade de apresentar uma explicação qualitativa complicada para o que eles devem significar.

— Jason R

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Além disso, acho que seu primeiro marcador pode estar errado; Eu sempre ouvi a distância referida como escalar, enquanto o deslocamento é uma quantidade vetorial.

— Jason R

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Além disso, para além do que Jason disse, eu realmente não conseguem ver o aspecto "físico" nesta resposta, que lhe disse que estava faltando em todos os outros ...

— Lorem Ipsum

@JasonR Eu sei que o meu post é longo, mas por favor, não tente ler o meu post (totalmente) antes de comentar sobre ele no futuro. Ao fazê-lo, verá que não é complicado, mas se encaixa muito bem com o que sabemos até agora. Você verá como minha explicação é realmente derivada e construída a partir de todas as respostas anteriores e de minha pesquisa na literatura.

— Spacey