Este acabou por ser um assunto bastante quente.
Depois de ler a rica multidão de opiniões e interpretações boas e diversas e deixar a questão esquentar em minha mente por algum tempo, acredito que tenho uma interpretação física do fenômeno de frequências negativas. E acredito que a principal interpretação aqui é que fourier é cego ao tempo. Expandindo ainda mais:
Muito se tem falado sobre a 'direção' da frequência e, portanto, como ela pode ser + ve ou -ve. Embora as idéias gerais dos autores afirmem que isso não seja perdido, essa afirmação é inconsistente com a definição de frequência temporal; portanto, primeiro devemos definir nossos termos com muito cuidado. Por exemplo:
A distância é um escalar (só pode ser + ve), enquanto o deslocamento é um vetor. (ou seja, tem direção, pode ser + ve ou -ve para ilustrar o cabeçalho).
A velocidade é um escalar (só pode ser + ve), enquanto a velocidade é um vetor. (ou seja, novamente, tem direção e pode ser + ve ou -ve).
Assim, pelas mesmas fichas,
- A frequência temporal é escalar (pode ser apenas + ve)! A frequência é definida como o número de ciclos por unidade de tempo. Se essa é a definição aceita, não podemos simplesmente afirmar que ela está indo em uma "direção diferente". Afinal, é um escalar. Em vez disso, devemos definir um novo termo - o vetor equivalente à frequência. Talvez "frequência angular" seja a terminologia correta aqui e, de fato, é exatamente isso que uma frequência digital mede.
Agora, de repente, estamos no negócio de medir o número de rotações por unidade de tempo (uma quantidade vetorial que pode ter direção), VS apenas o número de repetições de alguma oscilação física.
Assim, quando perguntamos sobre a interpretação física de frequências negativas, também perguntamos implicitamente sobre como as medidas escalares e muito reais do número de oscilações por unidade de tempo de algum fenômeno físico, como ondas na praia, corrente CA sinusoidal por um fio, mapear para essa frequência angular que agora, de repente, tem direção, no sentido horário ou anti-horário.
A partir daqui, para chegar a uma interpretação física de frequências negativas, dois fatos precisam ser atendidos. O primeiro é que, como apontou Fourier, um tom real oscilatório com
frequência temporal escalar, f , pode ser construído adicionando dois tons complexos oscilatórios, com frequências angulares vetoriais, + wew .
cos(ω0t)=eȷω0t+e−ȷω0t2
Isso é ótimo, mas e daí? Bem, os tons complexos estão girando em direções opostas uma à outra. (Veja também o comentário de Sebastian). Mas qual é o significado das 'direções' aqui que dão às nossas frequências angulares seu status vetorial? Que quantidade física está sendo refletida na direção da rotação? A resposta é tempo. No primeiro tom complexo, o tempo está viajando na direção + ve e, no segundo tom complexo, o tempo está viajando na direção -ve. O tempo está indo para trás.
Tendo isso em mente e aproveitando rapidamente para lembrar que a frequência temporal é a primeira derivada da fase em relação ao tempo (simplesmente a mudança de fase ao longo do tempo), tudo começa a se encaixar:
A interpretação física das frequências negativas é a seguinte:
Minha primeira percepção foi que fourier é independente do tempo . Ou seja, se você pensar bem, não há nada na análise de Fourier ou na própria transformação que possa lhe dizer qual é a "direção" do tempo. Agora, imagine um sistema fisicamente oscilante (isto é, um senoide real, por exemplo, uma corrente sobre um fio) que esteja oscilando em alguma frequência temporal escalar, f .
Imagine 'olhando' essa onda, na direção avançada do tempo, à medida que ela progride. Agora imagine calcular sua diferença de fase a cada momento que você progride. Isso fornecerá sua frequência temporal escalar e sua frequência é positiva. Por enquanto, tudo bem.
Mas espere um minuto - se fourier é cego para o tempo, então por que ele deveria considerar apenas sua onda na direção do tempo 'para frente'? Não há nada de especial nessa direção no tempo. Assim, por simetria, a outra direção do tempo também deve ser considerada. Assim, imagine agora 'olhando' para a mesma onda (ou seja, retrocedendo no tempo) e também realizando o mesmo cálculo da fase delta. Como o tempo está retrocedendo agora e sua frequência é de mudança de fase / (tempo negativo), sua frequência agora será negativa!
O que Fourier está realmente dizendo é que esse sinal tem energia se for reproduzido no tempo no compartimento de frequência f, mas também possui energia se reproduzido no tempo no retrocesso , embora no compartimento de frequência -f. Em certo sentido, DEVE dizer isso porque fourier não tem como 'saber' qual é a 'verdadeira' direção do tempo!
Então, como Fourier captura isso? Bem, para mostrar a direção do tempo, uma rotação de algum tipo deveser empregado de modo que uma rotação no sentido horário lide 'olhando' para o sinal na seta para a frente do tempo, e uma rotação no sentido anti-horário lide 'olhando' para o sinal como se o tempo estivesse voltando para trás. A frequência temporal escalar com a qual todos estamos familiarizados deve agora ser igual ao valor absoluto (em escala) da nossa frequência angular vetorial. Mas como pode um ponto significando o deslocamento de uma onda sinusóide chegar ao seu ponto inicial depois de um ciclo e, simultaneamente, girar em torno de um círculo e manter uma manifestação da frequência temporal que significa? Somente se os eixos principais desse círculo forem compostos de medir o deslocamento desse ponto em relação ao sinusóide original e um sinusóide em 90 graus. (É exatamente assim que fourier obtém seu seno e cosseno base o projeto contra você toda vez que você realiza uma DFT!). E, finalmente, como mantemos esses eixos separados? O 'j' garante que a magnitude de cada eixo seja sempre independente da magnitude do outro, já que números reais e imaginários não podem ser adicionados para gerar um novo número em qualquer domínio. (Mas isso é apenas uma observação).
Assim, em resumo:
A transformação de Fourier é independente do tempo. Não pode dizer a direção do tempo. Este é o coração das frequências negativas. Como frequência = mudança de fase / tempo, sempre que você recebe a DFT de um sinal, fourier está dizendo que, se o tempo estava avançando, sua energia está localizada no eixo de frequência + ve, mas se seu tempo estava voltando, sua energia está localizado no eixo da frequência -ve.
Como nosso universo mostrou antes , é precisamente porque Fourier não sabe a direção do tempo, que os dois lados da DFT devem ser simétricos e por que a existência de frequências negativas é necessária e, de fato, muito real.