O sinal Dirac delta (impulso) é um sinal de potência ou de energia?

Eu sou um iniciante, desculpe se esta pergunta é muito fundamental. O impulso Dirac tem área finita, ou seja, = 1. Mas eu ouvi dizer que é indefinido. Portanto, a área sob também é indefinida e o sinal não existe o tempo todo portanto não pode ser um sinal de potência. Então, meu palpite é que nem sinal de potência nem energia. Estou certo?$|\delta(t)|^2$$|\delta(t)|^2$$t$

[Foi adicionada uma referência ao teorema da impossibilidade de Schwartz para produtos de distribuição]

O Dirac delta contínuo não é considerado uma função ou sinal verdadeiro, mas uma distribuição. Em sua página da Wikipedia :$\delta$

A função delta também pode ser definida no sentido de distribuições exatamente como acima no caso unidimensional. [25] No entanto, apesar do amplo uso em contextos de engenharia, (2) deve ser manipulado com cuidado, uma vez que o produto das distribuições só pode ser definido em circunstâncias bastante restritas .

Pode ser definido de forma que, para qualquer função satisfaça algumas propriedades importantes, e para :$f$$a\in \mathbb{R}$

$$\int f(t)\delta(t-a)dt=f(a).$$

Pelo que sei, essas propriedades importantes não são satisfeitas por ; portanto, não é possível substituir diretamente por e obter um resultado significativo. Tanto quanto se sabe, o produto de duas distribuições do Dirac não está bem definido, a menos que se fale de versões dimensionais ou das chamadas manipulações "formais" usadas na física, por exemplo, ou em matemática mais complicada. Nicholas Wheeler fornece uma breve descrição da produção simplificada das identidades da função delta do Dirac . Se alguém quiser aprofundar, eu sugeriria a teoria das funções generalizadas de Colombeau , de Ta Ngoc Tri, 2005:$\delta$$f$$\delta$$n$

Logo após a introdução de sua própria teoria, L. Schwartz publicou um artigo no qual ele mostrava um resultado impossível (veja [Sch54]) sobre o produto de duas distribuições arbitrárias.

Um resultado é o resultado da impossibilidade de Schwartz . Diz (de alguma forma) que, se alguém deseja abranger a derivada de funções continuamente diferenciáveis, mantendo a regra de derivação de Leibniz, obtém .$\delta^2(|x|)=0$

No entanto, de um ponto de vista informal, às vezes usado no DSP (e na física), esse "produto" é, tanto quanto eu sei, nem energia nem poder. De um ponto de vista lógico, porém, se ele não existir, é possível afetar muitas "propriedades" desse "produto" ...

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$\delta(x)$ não existe realmente nada para qualquer determinado . Como Laurent Duval disse, Dirac não é uma função , mas sim toda a mapeamento é uma função funcional que mapeia os valores da função avaliada em algum momento específico. Provavelmente, faria sentido refletir isso com um dedicado , como (O motivo pelo qual faz sentido escrever como se fosse um é que qualquer$x$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$$\backslash f \mapsto f(a) \equiv ``\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\: f(t) \cdot \delta(t-a)"$$ $$\int\!\!\!\!\delta_a\mathrm{d}t\: f(t).$$ $\delta$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$função quadrada integrável dá origem a uma funcional de maneira semelhante, a saber Na verdade, esse é apenas o produto escalar entre e ; o espaço de função é um espaço de Hilbert O benefício da notação Dirac-delta é que ela permite escrever superposições de tais funcionais de função real e funcionais de Dirac, por exemplo, a passagem de impulso passa-alta $g$ $$\gamma : L^2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \quad \gamma(f) = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\:f(t)\cdot g(t).$$ $L^2$$f$$g$$L^2$ $$\delta(t) - \sqrt{\frac{\omega_0}{2\pi}}\cdot\exp(-t^2\cdot\tfrac{\omega_0^2}2).$$ Essa é uma função que você nunca pode implementar na prática, apenas aproximada, mas captura o conceito de um filtro passa-alto que não está realmente preocupado com a resposta ao impulso como tal, mas com o resultado de dobrá-lo com real sinais mundiais, e é a dobragem que fornece a integral que define o significado do .)$\delta$

Portanto, como não é uma função, não há razão para acreditar que possa fazer sentido escrever pois nessa expressão o delta não ocorre exatamente uma vez abaixo de uma integral que esteja executando sua variável . Mesmo se você escrever uma integral em torno dela, ela sempre terá dois deltas com o mesmo parâmetro, e isso não está definido.$\delta$$|\delta(t)|^2$

Resumo: você está certo, Dirac não é um sinal, nem potência nem energia.

Você está certo de que o quadrado de um impulso do Dirac delta é indefinido; portanto, energia e potência não podem ser definidas da maneira usual para sinais contendo impulsos do Dirac.

No entanto, em analogia com sinais de tempo discreto, é comum definir energia e potência de um sinal que consiste em impulsos de Dirac da seguinte maneira. Se um sinal é dado por$x(t)$

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-t_n)\tag{1}$$

então sua energia pode ser definida como

$$E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\tag{2}$$

e seu poder pode ser definido por

$$P_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\sum_{n:\;|t_n|<T}|a_n|^2\tag{3}$$

Usando as definições e , um sinal que consiste em impulsos Dirac pode ser um sinal de energia ( ) ou um sinal de energia ( , ) ou nenhum dos dois (ambos e não existem).$(2)$$(3)$$E_x<\infty$$E_x\rightarrow\infty$$P_x<\infty$$(2)$$(3)$

Você tem boas respostas aqui, mas estou tentando explicá-las de uma maneira simples: um impulso é qualquer sinal que seja totalmente zero, exceto por um breve toque de forma arbitrária. Por exemplo, um impulso para um transmissor de microondas pode ter que estar na faixa de picossegundos porque os eletrônicos respondem em nanossegundos. Em comparação, um vulcão que entra em erupção por anos pode ser um impulso perfeitamente bom para as mudanças geológicas que levam milênios. Os matemáticos não gostam de ser limitados por nenhum sistema em particular e costumam usar o termo impulso para significar um sinal suficientemente curto para ser um impulso para qualquer sistema! Esse é um sinal que é infinitesimalmente estreito e, novamente, os matemáticos definem um impulso como: 1. sinal que é infinitesimalmente breve 2. O pulso que ocorre no tempo zero e 3. O pulso deve ter uma área de um [Por Steven W. Smith]