Como a resolução de tempo e a largura de banda do sinal estão relacionadas?

Estou confuso com os conceitos duplos de resolução de tempo e largura de banda. Frequentemente, ouvirei dizer que um aplicativo de radar compactado por pulso 'não tem BW suficiente' para uma resolução de tempo específica que é procurada.

A resolução de tempo máxima não é simplesmente a recíproca da sua taxa de amostragem?

Como esses conceitos estão relacionados?

resolution bandwidth

— Spacey
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Em um cenário de ruído zero, quando você tiver amostras suficientes para identificar exclusivamente seu sinal de tempo limitado, poderá interpolar e obter uma resolução de subamostras (por exemplo, melhor que 1 / Fs).

— hotpaw2

Os pontos de Dilip em sua resposta estão corretos. Falando mais sobre o contexto que você referiu do radar de compressão de pulso , acho que você está ficando confuso com significados diferentes da palavra frequentemente usada "resolução". Em um amplo sentido de processamento de sinal, sua resolução de tempo é definida em certa medida pela taxa de amostragem. Porém, no domínio do problema específico da construção de um receptor de radar, você se preocupa em conseguir identificar ecos múltiplos de objetos distantes e observar com precisão a hora de chegada. "Resolução" neste contexto refere-se à resolução e separação de vários ecos recebidos, para que possam ser processados independentemente.

Um receptor de radar típico usa um correlacionador cruzado deslizante para localizar ecos de objetos que refletiram o sinal de radar transmitido. O receptor conhece o formato do pulso transmitido; portanto, a correlação cruzada entre a saída do receptor de RF e a forma de onda do pulso transmitido é o esquema ideal para detectar a presença de pulsos refletidos no AWGN . A saída do correlacionador conterá cópias da função de autocorrelação da forma de onda de pulso transmitida (que geralmente tem uma forma semelhante a sinc ) para cada eco recebido, mudando no tempo com base no alcance do alvo que causou a reflexão. Para discriminar entre os alvos, seus lobos correspondentes na saída do correlator devem ser suficientemente separados no tempo.

Um radar de "alta resolução" é capaz de discriminar finamente entre vários alvos na dimensão de alcance. Se o seu radar tiver vários alvos aproximadamente na mesma faixa, seus ecos atingirão o receptor quase ao mesmo tempo. Portanto, seus lobos de autocorrelação aparecerão na saída do correlacionador quase ao mesmo tempo. A capacidade do radar de discriminar os ecos depende da duração do tempo dos lobos de autocorrelação da forma de onda; uma função de autocorrelação mais estreita (idealmente parecida com um impulso) é melhor.

Esta introdução prolongada nos leva à idéia de compressão de pulso. As formas de onda de radar de compressão de pulso são tipicamente implementadas usando modulação linear de frequência (também conhecida como "chilrear"); em vez de transmitir um pulso de frequência constante, a frequência transmitida é varrida linearmente ao longo do curso do pulso. Na prática, a varredura pode ser feita em dezenas ou mesmo centenas de MHz de espectro. Qual o benefício? Uma função de autocorrelação com boas propriedades:

< s_{c^{'}}, s_{c^{'}} > (t) = T Λ (\frac{t}{T}) s i n c [π Δ f t Λ (\frac{t}{T})] e^{2 i π f_{0} t}

$<s_{c'}, s_{c'}>(t) = T \Lambda \left(\frac{t}{T} \right) \mathrm{sinc} \left[ \pi \Delta f t \Lambda \left( \frac{t}{T}\right) \right] e^{2 i \pi f_0 t}$

A equação acima é emprestada do artigo da Wikipedia; Adiarei a explicação completa para essa fonte. O importante aqui é o $\Delta f$ prazo; refere-se à quantidade de frequência coberta pelo chirp de frequência linear. Desde a $\Delta f$ é um fator no argumento do $\mathrm{sinc}$ Na função, é fácil observar que, ao chilrear sobre uma largura de banda maior, o lóbulo principal da função de autocorrelação do pulso será mais estreito. Os lobos mais estreitos são mais facilmente discriminados pelo receptor do radar, dando a esse radar uma "alta resolução" em termos de diferenciação entre alvos de alcance semelhante.

Só para finalizar, esse tipo de descoberta deve fazer sentido. Lembre-se de que a densidade espectral de potência de um sinal fixo de sentido amplo pode ser definida como a transformada de Fourier de sua função de autocorrelação. A função de autocorrelação ideal para um pulso de radar seria um impulso; separar um monte de ecos com largura "zero" é mais fácil do que separar um monte de lobos mais largos. A transformada de Fourier de um impulso tem uma extensão de frequência infinita. Qualitativamente, segue-se que as funções de autocorrelação com extensão de tempo muito curta seriam comparativamente de banda larga no domínio da frequência. Essa é a base para a regra geral usada na teoria de detecção e estimativa de que você precisa de um sinal de alta largura de banda para fazer medições de tempo de chegada de alta resolução.

— Jason R
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Jason, obrigado pela resposta, um Q antes de mais um acompanhamento - deixe-me reformular uma pergunta apenas para garantir que eu entendi direito ... Que tipo de sinal devo usar para que eu possa resolver (1 / fs) segundos ?

— Spacey

Eu acho que você está sem sorte. Tendo resolução de

\frac{1}{f_{s}}

$\frac{1}{f_s}$ implicaria que você pode discriminar entre picos separados por apenas uma amostra. Isso implica que não haveria separação visível entre eles no fluxo de amostra (seria apenas um pico de duas amostras). Embora você possa construir uma forma de onda que tenha uma forma suficientemente impulsiva para ter apenas uma amostra de largura na saída do correlator, em qualquer situação prática, provavelmente não dependerá de cada pico, sendo apenas uma amostra de largura; não é provável que seja muito robusto.

— Jason R

@Dilip: você está completamente certo. A função de autocorrelação ideal de uma sequência PN parece um impulso cercado por pequenos lóbulos laterais. Na prática, porém, você não pode contar com um pico de exatamente uma amostra por causa da largura de banda finita do receptor e deslocamento de tempo diferente de zero. E sim, eles são tipicamente de banda larga, daí seu uso em sistemas de espalhamento espectral.

— Jason R

@JasonR A questão está tentando estabelecer um limite superior para a potência máxima de resolução de tempo possível, dada uma taxa de amostragem específica. (Ignore os problemas de robustez por enquanto - estou falando teoricamente). A resolução do tempo máximo teórico disponível é limitada por 1 / fs, assumindo um valor entre 0 e 1 / fs, dependendo do seu PC?

— Spacey

Em um ambiente silencioso, sem interferências, sem perdas (ou seja, sem variações de ganho entre sinais diferentes), teoricamente você pode resolver dois sinais separados por

\frac{1}{f_{s}}

$\frac{1}{f_s}$ (isto é, uma amostra), desde que tenham funções de autocorrelação adequadas (como as sequências PN Dilip mencionadas anteriormente). Não é muito prático, mas em teoria você poderia.

— Jason R

Normalmente, você não tem uma resolução de 1 / Fs, porque não sabe se é o seu sinal ou não de uma única amostra. Quanto tempo leva para determinar se é o seu sinal de 100 MHz e não o sinal de 101 MHz de outra pessoa? Mais do que saber que é o seu sinal de 100 MHz e não o sinal de 110 MHz de outra pessoa. Quanto mais próximo o sinal do inimigo for excluído (mais estreita será a largura de banda permitida para o seu sinal), mais tempo será necessário para diferenciar amigo ou inimigo, o que levará a uma resolução de tempo pior.

Se você pudesse perceber a partir de uma amostra, isso implica que você está aceitando uma largura de banda infinita, que é apenas um caso de esquina da dupla largura de banda do tempo.

— hotpaw2
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