O que é uma medida exata de esparsidade?

Atualmente, estou trabalhando em sensoriamento comprimido e representação esparsa de sinais, especificamente imagens.

Muitas vezes me perguntam "o que é definição de escarsidade?". Eu respondo "se a maioria dos elementos de um sinal é zero ou quase zero, em algum domínio como Fourier ou Wavelet, esse sinal é escasso nessa base". mas sempre há um problema nessa definição: "o que a maioria dos elementos significa? São 90%? 80%? 92,86% ?!" Aqui é onde minha pergunta se coloca: existe alguma definição exata, isto é, numérica, para a escarsidade?

“ Existe alguma definição exata, ou seja, numérica, para a escarsidade? ” E por numérica , eu entendo tanto computável quanto praticamente “utilizável”. Minha opinião é a seguinte: ainda não, pelo menos, não há consenso, mas existem alguns candidatos dignos. A primeira opção " contar apenas termos diferentes de zero " é precisa, mas ineficiente (sensível à aproximação numérica e ao ruído e muito complexa para otimizar). A segunda opção "a maioria dos elementos de um sinal é zero ou quase zero " é bastante imprecisa, tanto em "mais" quanto em "próximo a".

Portanto, " uma medida exata da esparsidade " permanece ilusória, sem aspectos mais formais. Uma tentativa recente de definir a dispersão realizada em Hurley e Rickard, 2009 Comparando Medidas de Sparsidade , Transações IEEE sobre Teoria da Informação.

A idéia deles é fornecer um conjunto de axiomas que uma boa medida de escarsidade deve cumprir; por exemplo, um sinal $x$ multiplicado por uma constante diferente de zero, $\alpha x$ , deve ter a mesma esparsidade. Em outros termos, uma medida de esparsidade deve ser $0$ homogênea. Curiosamente, o proxy $\ell_1$ na detecção compressiva ou na regressão do laço é $1$ homogêneo. Este é realmente o caso de toda norma ou quase-norma $\ell_p$ , mesmo que elas tendam à medida de contagem (não robusta) $\ell_0$ como $p\to 0$ .

Então eles detalham seus seis axiomas, executam cálculos, tomados emprestados da análise de riqueza:

• Robin Hood (tirar dos ricos, dar aos pobres reduz a esparsidade),
• Escala (multiplicação constante preserva a escarsidade),
• Aumento da maré (adicionar a mesma conta diferente de zero reduz a escarsidade),
• Clonagem (duplicar dados preserva a escarsidade),
• Bill Gates (um homem que fica mais rico aumenta a esparsidade),
• Bebês (adicionar valores zero aumenta a esparsidade)

$\ell_1/\ell_2$$p$$q$ $\ell_p/\ell_q$$x$$0< p\le q$

$1$$x$

$c_{(k)}$$C_\alpha .(k)^{-\alpha}$$\alpha$