Substituindo "e" na fórmula de Euler por outro número

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A fórmula de Euler permanece válida se usarmos qualquer número real além da constante ? Por exemplo, substituir por 5 faria com que a fórmula ficasse assim: . $e$ $e$ $5^{it}$

Tentei essa idéia no Matlab e substitui $e$ por alguns outros números reais (por exemplo, 1,5, 10, 2,1) e cada vez que o gráfico ainda mostrava o que parecia ser cosseno e ondas senoidais. A frequência do cos e do pecado estava mudando dependendo da base.

Aqui está mais ou menos a minha abordagem:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

— curioso
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Digamos que você esteja interessado em Observe que portanto pode ser escrito como

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0 0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$

M = e^{registro M},

$M = e^{\log M},$

(1)

$(1)$

\begin{aligned} M^{j 2 π f_{0 0} t} & = {(e^{registro M})}^{j 2 π f_{0 0} t} \\ = e^{j 2 π (f_{0 0} registro M) t} \\ = \cos (2 π (f_{0 0} registro M) t) + j pecado (2 π (f_{0 0} registro M) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$ que é um sinusóide complexo com frequência . É por isso que usar vez de resulta em uma alteração na frequência.

f_{0} \log M

$f_0 \log M$

M

$M$

e

$e$

— MBaz
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É uma pergunta interessante. Vamos ver o que os números zero complexos têm a propriedade de que eles "agem como " na fórmula clássica, ou seja, que para todo complexo . Por conveniência, suponha que possamos escrever $w$ $e$

e^{z} = W^{z}

$e^z = w^z$

z = x + i y

$z=x+iy$

W = r e^{Eu t}

$w=re^{it}$

O símbolo assume os possíveis valores múltiplos $w^z$

W^{z} = e^{z registro W} = e^{(x + Eu y) (\overset{possíveis valores de registro W}{\overset{⏞}{em r + Eu t + 2 k π Eu}})} = e^{(x em r - y t - 2 k π y) + Eu (y em r + x t + 2 k π x)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

Isso significa que teremos quando para alguns . Mas isso significa (equacionando partes reais e imaginárias de ambos os lados) Isso pode acontecer para todos os (isto é, todos os ) somente se e . $e^z=w^z$

(x + y Eu) - [(x em r - y t - 2 k π y) + Eu (y em r + x t + 2 k π x)] = 2 π n Eu

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$

n

$n$

{\begin{cases} x = x em r - y t - 2 k π y \\ y = y em r + x t + 2 k π x + 2 π n \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$

z

$z$

x, y

$x,y$

r = e

$r=e$

t = k = n = 0

$t=k=n=0$

Mas isso significa , portanto, não há outro número complexo que faça o truque. $w =e\cdot e^{0i}=e$ $w$

— MPW
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1

Para qualquer a, porque " " e "ln (x)" são "funções inversas. Portanto, . Então $a= e^{ln(a)}$ $e^x$

{uma}^{Eu t} = e^{em ({uma}^{Eu t})} = e^{Eu t em (uma)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$

{uma}^{Eu t} = e^{Eu (t em (uma))} = \cos (t em (uma)) + Eu pecado (t em (uma)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

— HallsofIvy
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Para positivo

a

$a$

— Laurent Duval

@ HallsofIvy: Isso não está totalmente correto. Mesmo assumindo ,

a > 0

$a>0$

a^{i t}

$a^{it}$ assume vários valores:

{uma}^{Eu t} = e^{Eu t (em uma + 2 π k Eu)} = e^{- 2 π k t + Eu t em uma} = e^{- 2 π k t} (\cos (t em uma) + Eu pecado (t em uma))

$a^{it}=e^{it(\ln a + 2\pi ki)} = e^{-2\pi kt + it\ln a} = e^{-2\pi kt}(\cos(t\ln a) + i\sin(t\ln a))$ (levando

k = 0

$k=0$ recupera seu valor específico). E se

a

$a$ é negativo ou não é real, é ainda mais complicado.

— MPW #