Transformada de Fourier em tempo discreto da sequência de etapas da unidade

Nos livros didáticos, sabemos que o DTFT de é dado por $u[n]$

\begin{matrix} (1) & U (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

No entanto, eu não vi um livro didático de DSP que ao menos pretenda fornecer uma derivação mais ou menos sólida de $(1)$ .

Proakis [1] deriva a metade direita do lado direito de $(1)$ configurando $z=e^{j\omega}$ na transformação $\mathcal{Z}$ de $u[n]$ e diz que é válido exceto $\omega=2\pi k$ (o que é correto). Ele então afirma que, no polo da transformação $\mathcal{Z}$ , temos que adicionar um impulso delta com uma área de $\pi$ , mas isso parece mais uma receita para mim do que qualquer outra coisa.

Oppenheim e Schafer [2] mencionam neste contexto

Embora não seja completamente fácil de mostrar, essa sequência pode ser representada pela seguinte transformação de Fourier:

que é seguido por uma fórmula equivalente a . Infelizmente, eles não se deram ao trabalho de nos mostrar essa prova "não completamente direta". $(1)$

Um livro que eu realmente não conhecia, mas que encontrei ao procurar uma prova de é Introdução ao processamento de sinais digitais e design de filtros da BA Shenoi. Na página 138, há uma "derivação" de , mas infelizmente está errada. Eu fiz uma pergunta do "quebra-cabeça do DSP" para que as pessoas mostrassem o que há de errado com essa prova.] $(1)$ $(1)$

Então, minha pergunta é:

Alguém pode fornecer uma prova / derivação de que seja sólida ou mesmo rigorosa enquanto estiver acessível para engenheiros com inclinação matemática? Não importa se é apenas copiado de um livro. Eu acho que seria bom tê-lo neste site de qualquer maneira. $(1)$

Observe que, mesmo em math.SE, quase nada relevante pode ser encontrado: essa pergunta não tem respostas e uma tem duas respostas, uma das quais está errada (idêntica ao argumento de Shenoi) e a outra usa a "propriedade de acumulação" , com o qual eu ficaria feliz, mas é preciso provar essa propriedade, o que o leva de volta ao início (porque ambas as provas provam basicamente a mesma coisa).

Como nota final, criei algo como uma prova (bem, sou engenheiro) e também a publicarei como resposta daqui a alguns dias, mas ficaria feliz em coletar outras provas publicadas ou não publicadas simples e elegantes e, o mais importante, acessíveis aos engenheiros de DSP.

PS: Não duvido da validade de $(1)$ , gostaria apenas de ver uma ou várias provas relativamente diretas.

[1] Proakis, JG e DG Manolakis, processamento de sinais digitais: princípios, algoritmos e aplicativos , 3.ª edição, seção 4.2.8

[2] Oppenheim, AV e RW Schafer, processamento de sinais em tempo discreto , 2ª edição, p. 54

Inspirado por um comentário de Marcus Müller, eu gostaria de mostrar que como é dado pela Eq. satisfaz a exigência

U (ω)

$U(\omega)$

(1)

$(1)$

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

Se é o DTFT de , então $U(\omega)$ $u[n]$

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

deve ser o DTFT de

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(onde definimos ), porque $\text{sign}[0]=1$

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

Então nós temos

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

a partir do qual se segue

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

Com isso, obtemos

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— Matt L.
fonte

waaah. Não quebre meu mundo. A dúvida nessa fórmula introduz um reino de caos. Por exemplo, e, portanto, (com um prefator contínuo de definição de FT dependendo da constante ),

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$

c

$c$

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— Marcus Müller

@ MarcusMüller: Sem dúvida, essa fórmula está correta. A questão é exatamente como mostrá-lo de uma maneira que um engenheiro de mente simples possa entender. E funciona para o DTFT fornecido, não há problema.

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$

— Matt L.

Eu me considero muito simplório, e isso significa que me preocupo quando as coisas não parecem "seguras" quando não consigo ver como elas são derivadas.

— Marcus Müller

Vejo que o que você procura não é provar se a equação está correta ou não, mas sim derivar rigorosa e diretamente dos primeiros princípios e definição da DTFT. Então, sempre que alguém deseja fazer uma prova rigorosa envolvendo impulsos , acho que devemos nos referir melhor aos livros citados da teoria da função generalizada: Lighthill-1958 é citado na Opp & Schafer para uma discussão sobre a função de impulso e seu uso nas transformadas de Fourier. Todas as outras provas dependerão inevitavelmente das provas feitas nessas referências e serão insuficientes para substituir uma prova rigorosa.

U (w)

$U(w)$

— precisa saber é

@ Fat32: Esse é um ponto de vista válido. Penso, no entanto, que uma derivação razoavelmente sólida é possível se aceitarmos transformações básicas como e se quisermos definir integrais por seu principal valor Cauchy.

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$

— Matt L.

Respostas:

Cedron Dawg postou um interessante ponto inicial nesta resposta . Começa com estas etapas:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

Acontece que o termo dentro do limite pode ser expandido da seguinte maneira :

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

O fator comum fora dos colchetes pode ser expresso como :

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

A parte real dentro dos colchetes também é igual a :

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

Por outro lado, a parte imaginária pode ser reescrita como :

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

Reescrevendo o termo original, obtemos o seguinte:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

onde usei e o limite também não é afetado como . $M=N-1$ $M\to \infty$

De acordo com a 7ª definição neste site :

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

Até agora, temos que:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

Se pudéssemos provar que o segundo termo à direita da igualdade é em algum sentido, então terminamos. I pediu que a math.SE e, de facto, que a sequência de funções tende para a distribuição de zero. Então, nós temos isso: $0$

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
fonte

Isso é muito legal! Eu verifiquei e tudo parece estar correto, de modo que a parte imaginária deve tender a zero em algum sentido. Vou pensar um pouco.

— Matt L.

@MattL. Deixe-me saber se você é capaz de fazer algum progresso!

— Tendero

@MattL. A prova está finalmente completa!

— Tendero 23/01

Bom trabalho! Eu tinha descoberto que o termo cosseno tenderia a zero devido ao lema de Riemann-Lebesgue, mas meu problema era o caso . Como a primeira fórmula é baseada na soma geométrica, que é válida apenas para . De alguma forma, tudo funciona, mas ainda é uma falha menor. Eu tenho outra derivação que não divide o termo , no qual o caso é tratado com um pouco mais de cuidado, mas ainda é uma "prova do engenheiro" . Eu posso postar quando tiver mais tempo.

ω = 0

$\omega=0$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$

ω = 0

$\omega=0$

— Matt L.

Fornecerei duas provas relativamente simples que não exigem nenhum conhecimento da teoria da distribuição. Para uma prova que calcula a DTFT por um processo de limite usando resultados da teoria da distribuição, veja esta resposta de Tendero .

Vou mencionar apenas (e não elaborar) a primeira prova aqui, porque eu a publiquei como resposta a esta pergunta , cujo objetivo era mostrar que uma determinada prova publicada está com defeito.

A outra prova é a seguinte. Vamos primeiro escrever a parte par da sequência de etapas da unidade : $u[n]$

\begin{matrix} (1) & u_{e} [n] = \frac{1}{2} (u [n] + u [- n]) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

O DTFT de é $(1)$

\begin{matrix} (2) & DTFT {u_{e} [n]} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

que é igual à parte real do DTFT de : $u[n]$

\begin{matrix} (3) & U_{R} (ω) = Re {U (ω)} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

Como é uma sequência com valor real, terminamos porque as partes reais e imaginárias de estão relacionadas via transformada Hilbert e, consequentemente, determina exclusivamente . No entanto, na maioria dos textos de DSP, essas relações de transformação de Hilbert são derivadas da equação (que é válida para qualquer sequência causal ), da qual se segue que . Então, para mostrar a relação da transformação de Hilbert entre as partes reais e imaginárias da DTFT, precisamos da DTFT de $u[n]$ $U(\omega)$ $U_R(\omega)$ $U(\omega)$ $h[n]=h[n]u[n]$ $h[n]$ $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ $u[n]$ , que realmente queremos derivar aqui. Então a prova se torna circular. É por isso que escolheremos uma maneira diferente de derivar a parte imaginária de . $U(\omega)$

Para derivar , escrevemos a parte ímpar de seguinte maneira: $U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ $u[n]$

\begin{matrix} (4) & u_{o} [n] = \frac{1}{2} (u [n] - u [- n]) = u [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

Tomando o DTFT de dá $(4)$

\begin{aligned} j U_{I} (ω) & = e^{- j ω} U (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (U_{R} (ω) + j U_{I} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

onde eu usei . Eq. pode ser escrito como $(3)$ $(5)$

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

A conclusão correta de é (veja esta resposta para mais detalhes) $(6)$

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

Mas, como sabemos que deve ser uma função ímpar de (porque tem valor real), podemos concluir imediatamente que . Portanto, de e finalmente obtemos $U_I(\omega)$ $\omega$ $u[n]$ $c=0$ $(3)$ $(7)$

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— Matt L.
fonte