como essa equação corresponde à suavização?

Por favor, ajude-me a entender a suavização dos dados. Este é um acompanhamento da minha pergunta anterior postada aqui . Especialmente a principal resposta de Junuxx, onde ele diz que uma maneira de suavizar uma função é:$f(x)$

aqui podemos ver isso para todos os pontos $f[x]$, estamos usando uma média ponderada desse ponto e de seus dois pontos adjacentes, para obter uma versão otimizada de $f[t]$ chamado $f'[t]$.

Um artigo sobre aprimoramento da fala explica que uma equação da forma

nos ajuda a obter o valor de y como uma suavização recursiva de x. Aqui$a[i]$ atua como um parâmetro de suavização e é calculado como

Onde $p[i]$ é calculado em outro lugar e alfa é uma constante. $y[i]$, $a[i]$e $x[i]$ são todas matrizes com $i$ elementos.

Como posso relacionar essa equação de $y[i]$ com a equação de $f'[t]$? Ambos são para suavizar dados, porém a equação para$f'[t]$ contém a média ponderada de pontos consecutivos na matriz para $f[x]$ enquanto a equação para $y[i]$ não contém pontos de dados consecutivos para $x[i]$. Como podemos entender essa equação como uma suavização de dados em$x$?

Se essa pergunta não for relevante quando as equações forem tiradas de contexto, terei o maior prazer em fornecer mais detalhes.

A primeira equação que você fornece é a equação da diferença para um filtro FIR passa- baixo ou um filtro linear com uma resposta de impulso com duração finita. Escreverei um pouco diferente (para que seja expressamente discreto no tempo e causal ):

$f_s[n]$ é a versão suavizada da sequência de entrada em tempo discreto $f[n]$, gerado pela passagem $f[n]$ através de um filtro FIR com os coeficientes $[0.1, 0.8, 0.1]$. A resposta de frequência desse filtro é a seguinte:

Como se vê, não é um filtro passa-baixo muito bom. Como o nome indica, um filtro passa-baixo deve transmitir conteúdo de baixa frequência enquanto remove frequências mais altas. Isso fornece a ação de "suavização" que você procura, pois os recursos não suaves "irregulares" são associados a altas frequências, pois mudam rapidamente com o tempo.

Sua segunda equação é um exemplo de filtro IIR passa- baixo , um filtro linear cuja resposta ao impulso é infinita em duração. A equação da diferença do filtro é:

Onde $x[n]$ é a entrada do filtro e $y[n]$é a saída do filtro. Esse tipo de filtro é frequentemente usado como filtro passa-baixa de baixa complexidade e é frequentemente chamado de integrador com vazamento . É favorecido por sua implementação simples, baixa complexidade computacional e sua sintonização: sua frequência de corte depende do valor de$\alpha$. $\alpha$ pode assumir valores no intervalo $[0,1)$. $\alpha = 0$não produz nenhuma filtragem (a saída é igual à entrada); Como$\alpha$aumenta, a frequência de corte do filtro diminui. Você pode pensar em$\alpha = 1$ como um caso limite onde a frequência de corte é infinitamente baixa (a saída do filtro é zero para todo o tempo).

Como exemplo, se $\alpha = 0.8$, a resposta de frequência do filtro é a seguinte:

qual é um filtro melhor que o seu exemplo FIR; produz uma atenuação de frequências muito melhor na extremidade superior da banda. Mesmo que não seja óbvio olhando para a equação da diferença (devido ao feedback da saída do filtro de volta à sua entrada), ele efetivamente suaviza a entrada devido à sua natureza de passa-baixo. Não tenho certeza se essa descrição será particularmente significativa para você no seu aplicativo, mas esses são conceitos de processamento de sinal bastante fundamentais; algum estudo de textos introdutórios de DSP poderia ajudar a preencher as lacunas.

Edit: Por solicitação, aqui está um gráfico que mostra as duas respostas nos mesmos eixos, ilustrando a atenuação relativamente fraca fornecida pelo filtro de exemplo FIR: